\(x^4+2x^2\ge0\Rightarrow y\ge0\)
- Với \(y=0\Rightarrow x=0\)
- Với \(y\ge1\):
\(\Leftrightarrow\left(x^2+1\right)^2=y^3+1=\left(y+1\right)\left(y^2-y+1\right)\)
Gọi \(d=ƯCLN\left(y+1;y^2-y+1\right)\)
\(\Rightarrow y\left(y+1\right)-\left(y^2-y+1\right)⋮d\Rightarrow2y-1⋮d\)
\(\Rightarrow2\left(y+1\right)-\left(2y-1\right)⋮d\Rightarrow3⋮d\)
- Nếu \(d=3\Rightarrow VP⋮3\Rightarrow VT⋮3\Rightarrow x^2\equiv2\left(mod3\right)\) (vô lý)
- Nếu \(d=1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y+1=a^2\\y^2-y+1=b^2\end{matrix}\right.\)
Ta có \(y\ge1\Rightarrow-y+1\le0\Rightarrow y^2-y+1\le y^2\)
Và \(y^2-y+1>y^2-2y+1\)
\(\Rightarrow\left(y-1\right)^2< y^2-y+1\le y^2\)
\(\Rightarrow y^2-y+1=y^2\Rightarrow y=1\)
Nhưng khi đó \(y+1=2\) ko phải SCP (loại)
Vậy pt có nghiệm duy nhất \(x=y=0\)
