Số p4 có 5 ước số tự nhiên là 1,p,p2,p3,p4
Ta có 1+p+p2+p3+p4=n2(n∈N)
\(\Rightarrow4n^2=4p^4+4p^3+4p^2+4p+4>\left(2p^2+p\right)^2\)
Và \(4n^2=4p^4+4p^3+4p^2+4p+1< 4p^4+p^2+4+4p^3+8p^2+4p=\left(2p^2+p+2\right)^2\)
Vậy \(\left(2p^2+p\right)^2< \left(2n\right)^2< \left(2p^2+p+2\right)^2\Rightarrow\left(2n\right)^2=\left(2p^2+p+1\right)^2=4p^4+4p^3+5p^2+2p+1\)
Vậy \(4p^4+4p^3+5p^2+2p+1=4p^4+4p^3+4p^2+4p+4\)(cùng bằng \(\left(2n\right)^2\))\(\Leftrightarrow p^2-2p-3=0\Leftrightarrow p^2-3p+p-3=0\Leftrightarrow p\left(p-3\right)+\left(p-3\right)=0\Leftrightarrow\left(p-3\right)\left(p+1\right)=0\Leftrightarrow\)\(\left[{}\begin{matrix}p-3=0\\p+1=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\)\(\left[{}\begin{matrix}p=3\left(tm\right)\\p=-1\left(ktm\right)\end{matrix}\right.\)
Vậy p=3 thì tổng các ước số của p4 là số chính phương
