\(p^2+3pq+q^2=m^2\left(m\in N^{\text{*}}\right)\)
\(\Leftrightarrow pq+\left(p+q\right)^2=m^2\)
\(\Leftrightarrow pq=\left(m-p-q\right)\left(m+p+q\right)\)
TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}m+p+q=pq\\m-p-q=1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow2p+2q-pq+1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(p-2\right)\left(q-2\right)=5=1.5\)
\(\Leftrightarrow\left(p;q\right)\in\left\{\left(3;7\right);\left(7;3\right)\right\}\)
Thử lại ta được \(\left(p;q\right)\in\left\{\left(3;7\right);\left(7;3\right)\right\}\)
TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}m+p+q=p\\m-p-q=q\end{matrix}\right.\Leftrightarrow3q+p=0\)
\(\Rightarrow\) Không tồn tại p, q thỏa mãn
TH3: \(\left\{{}\begin{matrix}m+p+q=q\\m-p-q=p\end{matrix}\right.\Leftrightarrow3p+q=0\)
\(\Rightarrow\) Không tồn tại p, q thỏa mãn
Vậy \(\left(p;q\right)\in\left\{\left(3;7\right);\left(7;3\right)\right\}\)
