Gọi x, y, z lần lượt là 3 cạnh của một tam giác vuông (\(1\le x\le y\le z\))
Vì tam giác đã cho là tam giác vuông
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2=z^2\left(1\right)\\xy=2\left(x+y+z\right)\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Từ \(\left(1\right)\) ta có:
\(z^2=\left(x+y\right)^2-2xy=\left(x+y\right)^2-4\left(x+y+z\right)\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2-4\left(x+y\right)+4=z^2+4z+4\)
\(\Rightarrow\left(x-y+2\right)^2=\left(z+2\right)^2\)
\(\Rightarrow x+y-2=z+2\left(x+y\ge2\right)\)
\(\Rightarrow z=x+y-4\)
Thay \(z=x+y-4\) vào \(\left(2\right)\), ta được:
\(\left(x-4\right)\left(y-4\right)=8\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x-4=1\Rightarrow x=5\\y-4=8\Rightarrow y=12\end{matrix}\right.\Rightarrow z=13}\\\left\{{}\begin{matrix}x-4=2\Rightarrow x=6\\y-4=4\Rightarrow y=8\end{matrix}\right.\Rightarrow z=10\end{matrix}\right.\)
Vậy tam giác vuông có 3 cạnh là 5, 12, 13 hoặc 6, 8, 10 có số đo diện tích bằng số đo chu vi.
