Question

Tìm số tự nhiên n sao cho \(A=n^4-2n^3+3n^2-2n\) là số chính phương

Answer 1

\(A=n^4-n^3-n^3+n^2+2n^2-2n\)

\(A=n^3\left(n-1\right)-n^2\left(n-1\right)+2n\left(n-1\right)\)

\(A=n\left(n-1\right)\left[n^2-n+2\right]\)

\(A=n\left(n-1\right)\left[n\left(n-1\right)+2\right]\)

Đặt \(n\left(n-1\right)=a\)

\(\Rightarrow A=a\left(a+2\right)=a^2+2a\)

- Nếu \(\left[{}\begin{matrix}n=0\\n=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a=0\Rightarrow A=0\) là SCP

- Nếu \(n>1\Rightarrow n\left(n-1\right)>0\Rightarrow a>0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}A=a^2+2a>a^2\\A=a^2+2a< a^2+2a+1=\left(a+1\right)^2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a^2< A< \left(a+1\right)^2\Rightarrow A\) không chính phương

Vậy...