\(\sqrt{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)}\)
\(=\sqrt{\left[n\left(n+3\right)\right]\left[\left(n+1\right)\left(n+2\right)\right]}\)
\(=\sqrt{\left(n^2+3n\right)\left(n^2+3n+2\right)}\)
Đặt n2 + 3n + 1 = a ( a là số tự nhiên ), khi đó ta có biểu thức:
\(\Rightarrow\sqrt{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}=\sqrt{a^2-1}\)
Để biểu thức trên là số nguyên thì a2 - 1 là số chính phương
Đặt a2 -1 = m2 (m là số tự nhiên
\(\Rightarrow a^2-m^2=1\)
\(\Rightarrow\left(a-m\right)\left(a+m\right)=1.1\)
\(\Rightarrow a-m=a+m=1\)
Do đó: a = 1
=> n2 + 3n + 1 = 1
=> n2+3n = 0
=> n(n+3)=0
=> n = 0 hoặc n = -3 ( Loại vì n là số tự nhiên
Vậy n = 0
