a) Vì tam giác OBA vuông tại B nên góc OBA = 90 độ

=> Góc O + Góc A = 90 độ

Mà góc O là góc ở tâm và góc A là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cùng chắn 1 cung

=> Góc O = 2.góc A

Do đó: 2.Góc A + Góc A = 90 độ => 3.Góc A = 90 độ

=> Góc A = 30 độ => Góc O = 60 độ

b) Vì C đối xứng với B qua OA nên OA là đường trung trực của BC

=> Tam giác OBC cân tại O

=> OB = OC => C nằm trên đường tròn (O)

Vì OA là đường trung trực của BC nên AB = AC

Xét tam giác OBA và tam giác OCA

Có: OB = OC (cmt)

AB = AC (cmt)

OA chung

=> Tam giác OBA và OCA bằng nhau ( c-c-c )

=> Góc OBA = Góc OCA = 90 độ

Do đó: AC vuông góc với OC

=> AC là tiếp tuyến của (O)

c) Gọi H là giao điểm của BG và AC

Ta có: Góc CBG = Góc CAG ( cùng phụ với góc BCG )

Góc BGO = Góc GAH ( đối đỉnh )

=> Góc CBG + Góc BGO = Góc CAG + Góc GAH

=> Góc GHA = 90 độ

=> BG vuông góc với AC

Lại có: OA là đường phân giác của BAC ( Do hai tiếp tuyến AB,AC cắt nhau ở C )

=> Góc BAC = 2.Góc BAO = 2.30 độ = 60 độ

Mà tam giác ABC cân, do đó tam giác ABC đều

Xét tam giác ABC đều có BG vuông góc với AC

=> BG đồng thời là đường trung tuyến của tam giác ABC

Lại có: OA là đường trung tuyến của BC

=> Đpcm

a) Ta có: \(M=\frac{2}{x^2+2x+3}=\frac{2}{\left(x^2+2x+1\right)+2}=\frac{2}{\left(x+1\right)^2+2}\)

Vì \(\left(x+1\right)^2\ge0\) với mọi x nên \(\left(x+1\right)^2+2\ge2\)

Do đó:\(\frac{2}{\left(x+1\right)^2+2}\le\frac{2}{2}=1\)

Dấu "="xảy ra khi: x + 1 = 0 => x = -1

Vậy max M = 1 <=> x = -1

b) Gọi chiều dài của hình chữ nhật là a, suy ra chiều rộng là a - 7

Áp dụng định lí Pitago thì:

a² + ( a - 7 )² = 13²

=> a² + a² - 14a + 49 = 169

=> 2a² - 14a - 120 = 0

=> a² - 7a - 60 = 0

=> ( a - 12 )( a + 5 ) = 0

=> a = 12 hoặc a = -5

Mà a là chiều dài của một hình chữ nhật nên a là số tự nhiên

=> a = 12

Do đó: Chiều dài hình chữ nhật là 12, chiều rộng hình chữ nhật là 5

Vậy diện tích hình chữ nhật là: 12.5 = 60

Gọi số có hai chữ số cần tìm là \(\overline{ab}\left(0< a\le9,0\le b\le9;a,b\in N\right)\)

Theo đề, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\overline{ab}+\overline{ba}=132\\\overline{ab}=2ab+5\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}10a+b+10b+a=132\\10a+b=2ab+5\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}11a+11b=132\\10a+b=2ab+5\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=12\\10a+b=2ab+5\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=12-a\\10a+12-a=2a\left(12-a\right)+5\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=12-a\\24a-2a^2+5-9a-12=0\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=12-a\\2a^2-15a+7=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=12-a\\\left(2a-1\right)\left(a-7\right)=0\end{matrix}\right.\)

Do đó: \(\left\{{}\begin{matrix}b=12-a\\\left[{}\begin{matrix}a=\frac{1}{2}\\a=7\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

Mà a là số tự nhiên nên a = 7 thỏa mãn

Với a = 7 thì b = 12 - 7 = 5

Vậy số cần tìm là 75

a) Để B = A + 1 thì:

\(\frac{\sqrt{x^3}-\sqrt{x}+2x-2}{\sqrt{x}+2}=\frac{2x-3\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-2}+1\)

\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{x}̣\left(x-1\right)+2\left(x-1\right)}{\sqrt{x}+2}=\frac{2x-3\sqrt{x}-2+\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}{\sqrt{x}+2}=\frac{2x-2\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}-2}\)

\(\Leftrightarrow x-1=\frac{2\left(x-\sqrt{x}-2\right)}{\sqrt{x}-2}\)

\(\Leftrightarrow x-1=\frac{2\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}-2}\)

\(\Leftrightarrow x-1=2\left(\sqrt{x}+1\right)\)

\(\Leftrightarrow x-2\sqrt{x}-1-2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-1\right)^2-\left(\sqrt{2}\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-1-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{x}-1+\sqrt{2}\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x}=1+\sqrt{2}\\\sqrt{x}=1-\sqrt{2}\end{matrix}\right.\) ( Loại \(\sqrt{x}=1-\sqrt{2}\) vì \(\sqrt{x}\ge0\) )

Vậy \(x=3+2\sqrt{2}\)

b) Ta có: B = x -1 ( theo kết quả rút gọn ở câu a )

\(A=\frac{2x-3\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-2}=\frac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(2\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}-2}=2\sqrt{x}+1\)

Do đó: \(C=B-A=x-1-2\sqrt{x}-1\)

\(C=\left(x-2\sqrt{x}+1\right)-3\)

\(C=\left(\sqrt{x}-1\right)^2-3\ge-3\) với mọi x

Dấu bằng xảy ra khi: \(\sqrt{x}-1=0\Rightarrow x=1\)

Vậy min C = -3 khi và chỉ khi x = 1

Bạn tự vẽ hình

a) Vì AB,AC là các tiếp tuyến của (O)

Nên: Góc OBA = Góc OCA = 90 độ

=> Góc OBD + góc OCA = 90 +90 = 180 độ

Vậy ABOC là tứ giác nội tiếp

b) Xét tam giác AMB và tam giác ABN

Ta có: Góc BAM chung

Góc ABM = Góc ANB ( góc tạo bởi tiếp tuyến và dây và góc nội tiếp cùng chắn cung BM )

=> Tam giác AMB và ABN đồng dạng (g-g)

=> \(\frac{AM}{AB}=\frac{AB}{AN}\Rightarrow AM.AN=AB^2\) (1)

Vì hai tiếp tuyến AB,AC cắt nhau tại A nên AB = AC

=> AB²=AB.AC (2)

Từ (1) và (2) suy ra đpcm

Tự vẽ hình

Vì CD vuông góc với AB tại B

Nên: Góc ABC = Góc ABD = 90 độ

Xét (O) có góc ABC = 90 độ nên AC là đường kính của (O)

Xét (O') có góc ABD = 90 độ nên AD là đường kính của (O')

Ta có: OA = OC ( vì AC là đường kính của (O) )

O'A = O'D ( vì AD là đường kính của (O') )

=> OO' là đường trung bình của tam giác ACD

=> OO' = 1/2CD

=> Đpcm

\(\sqrt{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)}\)

\(=\sqrt{\left[n\left(n+3\right)\right]\left[\left(n+1\right)\left(n+2\right)\right]}\)

\(=\sqrt{\left(n^2+3n\right)\left(n^2+3n+2\right)}\)

Đặt n² + 3n + 1 = a ( a là số tự nhiên ), khi đó ta có biểu thức:

\(\Rightarrow\sqrt{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}=\sqrt{a^2-1}\)

Để biểu thức trên là số nguyên thì a² - 1 là số chính phương

Đặt a² -1 = m² (m là số tự nhiên

\(\Rightarrow a^2-m^2=1\)

\(\Rightarrow\left(a-m\right)\left(a+m\right)=1.1\)

\(\Rightarrow a-m=a+m=1\)

Do đó: a = 1

=> n² + 3n + 1 = 1

=> n²+3n = 0

=> n(n+3)=0

=> n = 0 hoặc n = -3 ( Loại vì n là số tự nhiên

Vậy n = 0

Biến đổi tương đương thì sẽ ra bình phương một biểu thức <=0 là vô lí.

Đặt \(x^4+2x^3+4x^2+4x+5=a^2\)

Ta có:\(\left(x^2+x+3\right)^2=x^4+2x^3+7x^2+6x+9>x^4+2x^3+4x^2+4x+5\)

\(\Rightarrow\left(x^2+x+3\right)^2>a^2\)

Lại có: \(\left(x^2+x+1\right)^2=x^4+2x^3+3x^2+2x+1< x^4+2x^3+4x^2+4x+5\)

\(\Rightarrow\left(x^2+x+1\right)^2< a^2\)

Do đó: \(\left(x^2+x+3\right)^2>a^2>\left(x^2+x+1\right)^2\)

=> \(\left(x^2+x+2\right)^2=a^2\)

\(\Rightarrow x^4+2x^3+5x^2+4x+4=x^4+2x^3+4x^2+4x+5\)

\(\Rightarrow5x^2+4=4x^2+5\)

\(\Rightarrow x^2=1\Rightarrow x=\pm1\)

Ta có: \(P=\frac{x-1}{x}+\frac{y-1}{y}+\frac{z-4}{z}\)

\(P=1-\frac{1}{x}+1-\frac{1}{y}+z-\frac{4}{z}\)

\(P=3-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{4}{z}\right)\)

Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz ở dạng phân thức, ta được:

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{4}{z}\ge\frac{\left(1+1+2\right)^2}{x+y+z}=\frac{16}{6}=\frac{8}{3}\)

Do đó: \(P\le3-\frac{8}{3}=\frac{1}{3}\)

Dấu bằng xảy ra khi: \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{1}{x}=\frac{1}{y}=\frac{2}{z}\\x+y+z=6\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=\frac{3}{2};y=\frac{3}{2};z=3\)

Vậy max P = 1/3 khi và chỉ khi \(\Leftrightarrow x=\frac{3}{2};y=\frac{3}{2};z=3\)