Áp dụng BĐT Cauchy Shwarz và AM - GM, ta có:
\(M=\left(x^4+1\right)\left(y^4+1\right)\)
\(=x^4y^4+x^4+y^4+1\)
\(=\left(x^4+2x^2y^2+y^4\right)+\left(1-2x^2y^2+x^4y^4\right)\)
\(=\left(x^2+y^2\right)^2+\left(1-x^2y^2\right)^2\)
\(\ge\left[\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}\right]^2+\left[1-\dfrac{\left(x+y\right)^4}{16}\right]^2\)
\(=\dfrac{841}{16}\)
Vậy Min M = 841/16 <=> x = y = \(\dfrac{\sqrt{10}}{2}\)
Lời giải:
Biến đổi:
\(A=(x^4+1)(y^4+1)=x^4y^4+1+x^4+y^4\)
\(\Leftrightarrow A=(x^2+y^2)^2+(x^2y^2-1)^2\)
\(\Leftrightarrow A=[(x+y)^2-2xy]^2+(x^2y^2-1)^2\)
\(\Leftrightarrow A=(10-2xy)^2+(x^2y^2-1)^2\)
Đặt \(t=xy\) \(\Rightarrow A=(10-2t)^2+(t^2-1)^2\)
\(\Leftrightarrow A=t^4+2t^2-40t+101\)
Theo BĐT AM-GM thì \(xy\leq \left(\frac{x+y}{2}\right)^2=\frac{5}{2}\), do đó \(t\in (0,\frac{5}{2}]\)
Thấy \(A+t^4+2t^2-40t+101=(t^2-4)^2+10(t-2)^2+45\)
\(\Leftrightarrow A=(t-2)^2[(t+2)^2+10]+45\geq 45\)
Dấu bằng xảy ra khi \(t=2\) (thỏa mãn khoảng của $t$)
Vậy \(A_{\min}=45\Leftrightarrow t=2\Leftrightarrow (x,y)=\left(\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}\right)\)
