Question

Cho x.y>0 và xy=1.Tìm min

\(A=\left(x+y+1\right)\left(x^2+y^2\right)+\dfrac{4}{x+y}\)

Answer 1

Áp dụng bất đẳng thức cô si ta có :\(x^2+y^2\ge2xy=2\)

\(\Rightarrow\left(x+y+1\right)\left(x^2+y^2\right)\ge2\left(x+y+1\right)=2\left(x+y\right)+2\)

\(\Rightarrow A\ge2\left(x+y\right)+2+\dfrac{4}{x+y}=\left(x+y+\dfrac{4}{x+y}\right)+\left(x+y\right)+2\)

Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức cô si ta có :

\(A\ge2\sqrt{\left(x+y\right).\dfrac{4}{\left(x+y\right)}}+2\sqrt{xy}+2=4+2+2=8\)

Dấu "=" xảy ra khi :\(x=y=1\)

Vậy min của \(A=\left(x+y+1\right)\left(x^2+y^2\right)+\dfrac{4}{x+y}\) là 8 khi \(x=y=1\)