Question

tìm m để pt \(\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)-2m\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+1=0\) có nghiệm 

Answer 1

\(\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2-2m\left(x+\dfrac{1}{x}\right)-1=0\)

Đặt \(x+\dfrac{1}{x}=t\Rightarrow\left|t\right|\ge2\)

\(\Rightarrow t^2-2mt-1=0\) (1)

Pt đã cho có nghiệm khi (1) có ít nhất 1 nghiệm thỏa \(\left|t\right|\ge2\)

Để (1) có 2 nghiệm đều thuộc \(\left(-2;2\right)\) thì:

\(\left\{{}\begin{matrix}f\left(-2\right)=3+4m>0\\f\left(2\right)=3-4m>0\\-2< \dfrac{t_1+t_2}{2}=m< 2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow-\dfrac{3}{4}< m< \dfrac{3}{4}\)

Vậy để pt có nghiệm thì \(\left[{}\begin{matrix}m\ge\dfrac{3}{4}\\m\le-\dfrac{3}{4}\end{matrix}\right.\)