Tìm m để phương trình sau có một nghiệm duy nhất ?
|2x-1| + |2x+1| - m=0
Helpp ><
\(\left|2x-1\right|+\left|2x+1\right|=m\) (1)
Xét 3 trường hợp: \(x< -\frac{1}{2}\), \(-\frac{1}{2}\le x< \frac{1}{2}\) và \(x\ge\frac{1}{2}\).
Trường hợp 1: \(x< -\frac{1}{2}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left|2x-1\right|=1-2x\\\left|2x+1\right|=-1-2x\end{matrix}\right.\)
Phương trình (1) tương đương
\(1-2x-1-2x-m=0\)
\(\Leftrightarrow-4x=m\)
Phương trình trên có nghiệm x duy nhất thỏa mãn điều kiện \(\Leftrightarrow m>2\). (2)
Trường hợp 2: \(-\frac{1}{2}\le x< \frac{1}{2}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left|2x-1\right|=1-2x\\\left|2x+1\right|=2x+1\end{matrix}\right.\)
Phương trình (1) tương đương:
\(1-2x+1+2x-m=0\)
\(\Leftrightarrow-m=-2\)
Phương trình trên có vô số nghiệm khi và chỉ khi m = 2 (3).
Trường hợp 3: \(x\ge\frac{1}{2}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left|2x-1\right|=2x-1\\\left|2x+1\right|=2x+1\end{matrix}\right.\).
Phương trình (1) tương đương:
\(2x-1+2x+1-m=0\)
\(\Leftrightarrow4x=m\)
Phương trình có nghiệm duy nhất \(\Leftrightarrow m>2\) (4)
Như vậy, kết hợp (2), (3) và (4) ta thấy:
- Với m = 2 thì phương trình có vô số nghiệm.
- Với m > 2 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
- Với m < 2 thì phương trình vô nghiệm.
Vậy không có m thỏa mãn phương trình (1) có nghiệm duy nhất.
m=2 => vô số nghiệm
m>2 => 2 nghiệm phân biệt
m<2 => vô nghiệm
