Lời giải:
Ta có:
\(m\ln (1-x)-\ln x=m\)
\(\Rightarrow m=\frac{\ln x}{\ln (1-x)-1}\)
Đặt \(f(x)=\frac{\ln x}{\ln (1-x)-1}\) \(\Rightarrow f'(x)=\frac{\frac{1}{x}(\ln (1-x)-1)+\frac{1}{1-x}.\ln x}{(\ln (1-x)-1)^2}\)
Với mọi \(x\in (0;1)\) thì \(\ln x< 0; \ln (1-x)< 0\).
\(\Rightarrow \frac{1}{x}(\ln (1-x)-1)+\frac{1}{1-x}.\ln x< 0\)
\(\Rightarrow f'(x)< 0, \forall x\in (0;1)\) hay hàm $f(x)$ nghịch biến trên $(0;1)$
-----------------
Lại có:
\(\lim _{x\to 0+}\frac{\ln x}{\ln (1-x)-1}=\lim_{x\to 0+}\frac{1}{\ln (1-x)-1}.\lim_{x\to +\infty}\ln x\)
\(-1.(-\infty)=+\infty\)
\(\lim_{x\to 1-}\frac{\ln x}{\ln (1-x)-1}=\lim _{x\to 1-}\ln x.\lim_{x\to 1-}\frac{1}{\ln (1-x)-1}=0.0=0\)
Do đó PT có nghiệm khi \(m\in (0;+\infty)\)
