Question

tìm m để phương trình (1-sinx)(cos8x+msinx) =mcos²x có đúng 4 nghiệm

x \(\varepsilon\) [ \(\frac{\pi}{6}\) ; \(\frac{\pi}{2}\) ]

Answer 1

\(\Leftrightarrow\left(1-sinx\right)\left(cos8x+m.sinx\right)=m\left(1-sin^2x\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(1-sinx\right)\left(cos8x+m.sinx\right)=\left(1-sinx\right)\left(m+m.sinx\right)\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx=1\\cos8x+m.sinx=m+m.sinx\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx=1\\cos8x=m\end{matrix}\right.\)

Do \(sinx=1\) có đúng 1 nghiệm \(x=\frac{\pi}{2}\) trên đoạn đã cho \(\Rightarrow cos8x=m\) có đúng 3 nghiệm trên đoạn đã cho

Đặt \(8x=a\Rightarrow a\in\left[\frac{4\pi}{3};4\pi\right]\)

Từ đường tròn lượng giác ta thấy để \(y=m\) cắt \(y=cosa\) tại 3 điểm trên \(\left[\frac{4\pi}{3};4\pi\right]\Rightarrow-\frac{1}{2}\le m< 1\)