Question

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình sin²x+(m² -3 )sinx+m²-4 có hai nghiệm thuộc\([\frac{3\pi}{2};2\pi)\)

Answer 1

Đặt \(sinx=t\Rightarrow-1\le t\le0\)

\(\Rightarrow t^2+\left(m^2-3\right)t+m^2-4=0\)

\(\Leftrightarrow t^2+t+\left(m^2-4\right)t+m^2-4=0\)

\(\Leftrightarrow t\left(t+1\right)+\left(m^2-4\right)\left(t+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(t+1\right)\left(t+m^2-4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=-1\\t=4-m^2\end{matrix}\right.\)

Pt đã cho có 2 nghiệm pb thuộc \(\left[\frac{3\pi}{2};2\pi\right]\) khi và chỉ khi:

\(-1< 4-m^2\le0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2< 5\\m^2\ge4\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-\sqrt{5}< m< \sqrt{5}\\\left[{}\begin{matrix}m\ge2\\m\le-2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}-\sqrt{5}< m\le-2\\2\le m< \sqrt{5}\end{matrix}\right.\)