\(P=\frac{a^2+1}{a}+\frac{b^2+1}{b}+\frac{c^2+1}{c}=a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{b}+c+\frac{1}{c}\ge2\sqrt{a.\frac{1}{a}}+2\sqrt{b.\frac{1}{b}}+2\sqrt{c.\frac{1}{c}}=6\)
Dấu " =" xảy ra : \(a=b=c=1\)
\(\Rightarrow P_{Min}=6\Leftrightarrow a=b=c=1\)
P/s : a,b,c > 0
1 . Cho a,b,c > 0 chứng minh rằng : \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}+1\)
2 . Cho x , y , z > 0 thỏa mãn : \(x+y+z=2\)
Tìm GTNN của \(P=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\)
3 . Cho các sô dương a , b , c biết \(\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}\le1\)
4 . Tim giá trị nhỏ nhất của biểu thức : \(P=a^2+b^2+c^2+\frac{ab+bc+ca}{a^2b+b^2c+c^2a}\)
Cho các số thực dương a, b, c sao cho \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{11}{a+b+c}\). Tìm GTNN của biểu thức \(P=\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)
Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a+b+c=3. Tìm GTNN của biểu thức A=\(\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Cho a,b,c thuộc R+/ a+b+c=1
a, chứng minh \(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\)> hoặc = 1
b, Tìm gtnn của: P = \(2018.\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\right)+\frac{1}{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)
tim gtnn cua bieu thuc
B=\(\frac{a}{1+b-a}+\frac{b}{1+b-c}+\frac{c}{1+a-c}\)
(a,b,c>0 thoa man a+b+c=1)
Tam giác ABC có các cạnh là: a,b,c. Gọi 2p là chu vi tam giác. CMR:
a) \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}>=\frac{4}{a+b}\)
b) \(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}>=2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Cho 2p=18. Tìm GTNN của a2+b2+c2
Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=3.Tìm GTNN của
P=\(\frac{a+1}{1+b^2}+\frac{b+1}{1+c^2}+\frac{c+1}{1+a^2}\)
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le3\). Tìm GTNN của biểu thức:
P=\(\frac{1}{\sqrt{a^2-ab+3b^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{b^2-bc+3c^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{c^2-ca+3a^2+1}}\)
Cho a+b+c =1 TÌm GTNN M= \(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{abc}\)
