Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Nhật Tiên Tiên

Cho a,b,c thuộc R+/ a+b+c=1

a, chứng minh \(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\)> hoặc = 1

b, Tìm gtnn của: P = \(2018.\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\right)+\frac{1}{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)

DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG
11 tháng 5 2019 lúc 18:14

Câu a : Áp dụng BĐT Cô - si cho các số dương ta có :

\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{a^2}{b}+b\ge2\sqrt{\frac{a^2}{b}.b}=2a\\\frac{b^2}{c}+c\ge2\sqrt{\frac{b^2}{c}.c}=2b\\\frac{c^2}{a}+a\ge2\sqrt{\frac{c^2}{a}.a}=2c\end{matrix}\right.\)

Cộng từng vế của BĐT ta thu được :

\(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+a+b+c\ge2a+2b+c\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge a+b+c=1\) ( đpcm )

Dấu \("="\) xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Đức Anh
Xem chi tiết
asuna
Xem chi tiết
Nguyễn Minh Nguyệt
Xem chi tiết
SuSu
Xem chi tiết
Lê Đình Quân
Xem chi tiết
fghj
Xem chi tiết
Sakura
Xem chi tiết
Khánh Ngọc
Xem chi tiết
Lê Trường Lân
Xem chi tiết