Question

Tìm GTNN của biểu thức P=\(\frac{x^3}{1+y}+\frac{y^3}{1+x}\) với x,y là các số dương thỏa mãn xy=1

Answer 1

+ Theo bđt AM-GM :

\(\frac{x^3}{y+1}+\frac{y+1}{4}+\frac{1}{2}\ge3\sqrt[3]{\frac{x^3}{y+1}\cdot\frac{y+1}{4}\cdot\frac{1}{2}}=\frac{3x}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{x^3}{y+1}=\frac{y+1}{4}=\frac{1}{2}\)\(\Leftrightarrow x=y=1\)

+ Tương tự ta cm đc : \(\frac{y^3}{x+1}+\frac{x+1}{4}+\frac{1}{2}\ge\frac{3y}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=1\)

+ Do đó : \(P+\frac{x+1}{4}+\frac{y+1}{4}+1\ge\frac{3}{2}\left(x+y\right)\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{5}{4}\left(x+y\right)-\frac{3}{2}\) \(\ge\frac{5}{4}\cdot2\sqrt{xy}-\frac{3}{2}\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{5}{2}-\frac{3}{2}=1\)

Dấu "=" \(\Leftrightarrow x=y=1\)

Vậy Min P = 1 \(\Leftrightarrow x=y=1\)