Với \(\sqrt{1+p+p^2+p^3+p^4}\notin Q\) và \(p\in P\) thì \(1+p+p^2+p^3+p^4\)phải là số chính phương.
-Xét p=2:
\(\sqrt{1+p+p^2+p^3+p^4}=\)\(\sqrt{31}\notin Q\)
-Xét p=3:
\(\sqrt{1+p+p^2+p^3+p^4}=\sqrt{121}=11\notin Q\)
-Với p>3:
*C/m:\(\left[p^2+\frac{\left(p-1\right)}{2}\right]^2< 1+p+p^2+p^3+p^4\)
\(\Leftrightarrow p^4+\frac{\left(p-1\right)^2}{4}+p^2\left(p-1\right)< 1+p+p^2+p^3+p^4\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(p-1\right)^2}{4}< 2p^2+p+1\)
\(\Leftrightarrow\left(p-1\right)^2< 8p^2+4p+4\)
\(\Leftrightarrow7p^2+6p>0\left(LĐ\right)\)
*C/m: \(1+p+p^2+p^3+p^4>\left[p^2+\frac{\left(p+1\right)}{2}\right]^2\)
\(\Leftrightarrow1+p< \frac{\left(p+1\right)^2}{4}\)
\(\Leftrightarrow p+1>4\Leftrightarrow p>3\left(Đung\right)\)
Vậy \(\left[p^2+\frac{\left(p-1\right)}{2}\right]^2< 1+p+p^2+p^3+p^4< \left[p^2+\frac{\left(p+1\right)}{2}\right]^2\)
Vì \(\left[p^2+\frac{\left(p-1\right)}{2}\right]^2\) và \(\left[p^2+\frac{\left(p+1\right)^2}{2}\right]^2\)là 2 scp ltiếp
nên \(1+p+p^2+p^3+p^4\) không là SCP.
Vậy p=3 TM
Nguyễn Việt Lâm Bài này lại nhờ bạn kiểm mình sợ khai triển sai.
