Question

Tìm các SNT x, y biết: \(\left(x^2+2\right)^2=2y^4+11y^2+x^2y^2+9\)

Answer 1

Giảm mũ cho dễ nhìn, đặt \(\left(x^2;y^2\right)=\left(a;b\right)\) với a; b là SCP

\(\left(a+2\right)^2=2b^2+11b+ab+9\)

\(\Leftrightarrow a^2-\left(b-4\right)a-2b^2-11b-5=0\)

\(\Delta=9b^2+36b+36=\left(3b+6\right)^2\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=2b+1\\a=-b-5< 0\left(l\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x^2=2y^2+1\)

\(\Leftrightarrow x^2-1=2b^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x-1\right)=2y^2\)

Với \(x=2\) ko thỏa mãn

Với \(x>2\), do x là số nguyên tố \(\Rightarrow x\) lẻ \(\Rightarrow x-1\) và \(x+1\) đều chẵn

\(\Rightarrow\left(x-1\right)\left(x+1\right)=4k\)

\(\Rightarrow2y^2=4k\Rightarrow y^2=2k\Rightarrow y\) chẵn \(\Rightarrow y=2\)

Thay ngược lại ta được \(x=3\)