Question

\(Q=\dfrac{2x-9}{x^2-5x+6}-\dfrac{x+3}{x-2}+\dfrac{2x+1}{x-3}\)

a). Rút gọn biểu thức;

b). Tìm điều kiện của x để \(\left|Q\right|\)=1;

c). Tìm số tự nhiên x để Q nhận giá trị nguyên;

d). Tìm điều kiện của x để Q nhận giá trị âm;

Answer 1

\(\text{a) }ĐKXĐ:x\ne2;x\ne3\\ \Rightarrow Q=\dfrac{2x-9}{x^2-5x+6}-\dfrac{x+3}{x-2}+\dfrac{2x+1}{x-3}\\ =\dfrac{2x-9}{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}-\dfrac{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}+\dfrac{\left(2x+1\right)\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}\\ =\dfrac{2x-9-x^2+9+2x^2+x-4x-2}{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}\\ =\dfrac{x^2-x-2}{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}=\dfrac{x^2-2x+x-2}{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}\\ =\dfrac{\left(x^2-2x\right)+\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}=\dfrac{x\left(x-2\right)+\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}\\ =\dfrac{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}=\dfrac{x+1}{x-3}\)

Vậy \(Q=\dfrac{x+1}{x-3}\) với \(x\ne2;x\ne3\)

b) Với \(x\ne2;x\ne3\)

Để \(\left|Q\right|=1\)

thì \(\Rightarrow\left|\dfrac{x+1}{x-3}\right|=1\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\dfrac{x+1}{x-3}=-1\\\dfrac{x+1}{x-3}=1\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x+1=3-x\\x+1=x-3\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+x=3-1\\x-x=-3-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x=2\\0x=-4\left(\text{ Vô nghiệm }\right)\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow x=1\left(T/m\right)\)

Vậy để \(\left|Q\right|=1\)

thì \(x=1\)

c) Với \(x\ne2;x\ne3\)

\(\text{Ta có : }Q=\dfrac{x+1}{x-3}=\dfrac{x-3+4}{x-3}\\ =\dfrac{x-3}{x-3}+\dfrac{4}{x-3}=1+\dfrac{4}{x-3}\)

\(\Rightarrow\) Để Q nhận giá trị nguyên

thì \(\Rightarrow\dfrac{4}{x-3}\in Z\)

\(\Rightarrow4⋮x-3\\ \Rightarrow x-3\inƯ_{\left(4\right)}\\ \Rightarrow x-3\in\left\{\pm1;\pm2;\pm4\right\}\)

Lập bảng giá trị:

\(x-3\)	\(-4\)	\(-2\)	\(-1\)	\(1\)	\(2\)	\(4\)
\(x\)	\(-1\left(T/m\right)\)	\(1\left(T/m\right)\)	\(2\left(K^0\text{ }T/m\right)\)	\(4\left(T/m\right)\)	\(5\left(T/m\right)\)	\(7\left(T/m\right)\)

Vậy để Q nhận giá trị nguyên

thì \(x\in\left\{-1;1;4;5;7\right\}\)

Answer 2

d) Với \(x\ne2;x\ne3\)

Để \(Q\) nhận giá trị âm

thì \(\Rightarrow\dfrac{x+1}{x-3}< 0\)

Lập bảng xét dấu:

\(\Rightarrow-1< x< 3\)

Vậy để \(Q\) nhận giá trị âm

thì \(-1< x< 3;x\ne2\)