Question

Một số chia cho 7 dư 3, chia cho 17 dư 12, chia cho 23 dư 7. Hỏi số đó chia 2737 dư bao nhiêu?

Answer 1

CÁCH 1:

Gọi số đã cho là A, theo đề bài ta có:

A = 7.a + 3 = 17.b + 12 = 23.c + 7

Mặt khác: A + 39 = 7.a + 3 + 39 = 17.b + 12 + 39 = 23.c + 7 + 39
= 7.(a + 6) = 17.(b + 3) = 23.(c + 2)

Như vậy A+39 đồng thời chia hết cho 7,17 và 23.

Nhưng 7,17 và 23 đồng thời là 3 số nguyên tố cùng nhau nên: (A + 39) 7.17.23 hay (A+39) 2737

Suy ra A+39 = 2737.k suy ra A = 2737.k - 39 = 2737.(k-1) + 2698

Do 2698 < 2737 nên 2698 là số dư của phép chia số A cho 2737.

CÁCH 2:

Gọi số cần tìm là a

Ta có

a:7 dư 3 =>(a+4) ⋮ 7 => (a+4+35) ⋮ 7 => a+39 ⋮ 7(1)

a:17 dư 12 =>(a+5) ⋮ 17 => (a+5+34) ⋮ 17 => a+39 ⋮ 17(2)

a:23 dư 7 =>(a+16) ⋮ 23 => (a+16+23) ⋮ 23 => a+39 ⋮ 23(3)

Từ (1);(2) và (3) => a+39 ⋮ 7;17 và 23

Mà ƯCLN (7;17;23) = 1

=> a+39 ⋮ 7. 17. 23 = 2737

=> a:2737 dư 2698.

Vậy số đó chia 2737 dư 2698.

Answer 2

theo đầu bài, ta có:
A=7.a+4
=17.b+3
=23.c+11 (a,b,c ∈∈ N)

nếu ta thêm 150 vào số đã cho thì ta lần lượt có:
A+150=7.a+4+150=7.a+7.22=7.(a+22)
=17.b+3+150=17.b+17.9=17.(b+9)
=23.c+11+150=23.c+23.7=23.(c+7)

như vậy A+150 đồng thời chia hết cho 7,17 và 23. nhưng 7, 17 và 23 là ba sô đôi một nguyên tố cùng nhau, suy ra A+150 chia hết cho 7.17.13=2737

vậy A+150=2737k (k=1;2;3;4...)

suy ra: A=2737k-150=2737k-2737+2587=2737(k-1)+2587=2737k'+2587

do 2587<2737 nên 2587 là số dư trong phép chia số đã cho A cho 2737