I.1.
ĐK: \(x\in R\)
\(x^2+3x+1=\left(x+3\right)\sqrt{x^2+1}\)
\(\Leftrightarrow2x^2+6x+2=2\left(x+3\right)\sqrt{x^2+1}\)
\(\Leftrightarrow x^2+1+x^2+6x+9-2\left(x+3\right)\sqrt{x^2+1}=8\)
\(\Leftrightarrow\left(x+3-\sqrt{x^2+1}\right)^2=8\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+3-\sqrt{x^2+1}=2\sqrt{2}\\x+3-\sqrt{x^2+1}=-2\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x^2+1}=x+3-2\sqrt{2}\left(1\right)\\\sqrt{x^2+1}=x+3+2\sqrt{2}\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow\sqrt{x^2+1}=x+3-2\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+3-2\sqrt{2}\ge0\\x^2+1=x^2+2\left(3-2\sqrt{2}\right)x+17-12\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge2\sqrt{2}-3\\2\left(3-2\sqrt{2}\right)x=12\sqrt{2}-16\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow x=2\sqrt{2}\)
\(\left(2\right)\Leftrightarrow\sqrt{x^2+1}=x+3+2\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+3+2\sqrt{2}\ge0\\x^2+1=x^2+2\left(3+2\sqrt{2}\right)x+17+12\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge-3-2\sqrt{2}\\2\left(3+2\sqrt{2}\right)x=-16-12\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow x=-2\sqrt{2}\)
Vậy phương trình có nghiệm \(x=\pm2\sqrt{2}\)
Câu 1 :
Ta có : \(x^2+3x+1=\left(x+3\right)\sqrt{x^2+1}\)
- Đặt \(\sqrt{x^2+1}=a\left(a\ge0\right)\)
PT TT : \(a^2+3x=a\left(x+3\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2-ax-3a+3x=0\)
\(\Leftrightarrow a^2-a\left(x+3\right)+3x=0\)
Có : \(\Delta=b^2-4ac=\left(a+3\right)^2-4.3a=a^2+6a+9-12a\)
\(=a^2-6a+9=\left(a-3\right)^2\ge0\forall a\)
TH1 : \(\Delta=0\Rightarrow a=3\left(TM\right)\)
\(\Rightarrow\sqrt{x^2+1}=3\)
\(\Rightarrow x=\pm2\sqrt{2}\)
TH2 : \(\Delta>0\)
=> Pt có 2 nghiệm phân biệt :\(\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{x+3+\sqrt{\left(x-3\right)^2}}{2}\\a=\dfrac{x+3-\sqrt{\left(x-3\right)^2}}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x^2+1}=\dfrac{x+3+\left|x-3\right|}{2}\\\sqrt{x^2+1}=\dfrac{x+3-\left|x-3\right|}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x^2+1}=\dfrac{x+3+x-3}{2}=\dfrac{2x}{2}=x\\\sqrt{x^2+1}=\dfrac{x+3-x+3}{2}=3\end{matrix}\right.\\\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x^2+1}=\dfrac{x+3-x+3}{2}=3\\\sqrt{x^2+1}=\dfrac{x+3+x-3}{2}=x\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+1=9\\x^2+1=x^2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x=\pm2\sqrt{2}\)
Vậy phương trình có tập nghiệm là \(S=\left\{\pm2\sqrt{2}\right\}\)
I.2
Đặt \(x+y=a;xy=b\)
\(\left\{{}\begin{matrix}xy\left(x+y\right)=2\\x^3+y^3+x+y=4\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}xy\left(x+y\right)=2\\\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+x+y=4\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}ab=2\\a^3-3ab+a=4\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}ab=2\\a^3-6+a=4\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}ab=2\\a^3+a-10=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}ab=2\\\left(a-2\right)\left(a^2+2a+5\right)=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}ab=2\\a=2\left(\text{vì }a^2+2a+5>0\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=1\\a=2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}xy=1\\x+y=2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow x=y=1\)
Vậy ...
II.1
\(a^2+b^2=c^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-2ab=c^2\)
\(\Leftrightarrow ab=\dfrac{\left(a+b\right)^2-c^2}{2}=\dfrac{\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)}{2}\) chia hết cho \(a+b+c\)
II.2
a, Đặt \(n+18=a^2;n-41=b^2\)
Ta có \(a^2-b^2=59\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a+b\right)=59\) (Phương trình ước số cơ bản)
b, \(n^3-n^2+n-1=\left(n-1\right)\left(n^2+1\right)\)
Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi \(\left[{}\begin{matrix}n-1=1\\n^2+1=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}n=2\\n=0\end{matrix}\right.\)
Thử lại ta được \(n=2\)
Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}xy\left(x+y\right)=2\\\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+\left(x+y\right)=4\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}xy\left(x+y\right)=2\\\left(x+y\right)\left(\left(x+y\right)^2-3xy\right)+\left(x+y\right)=4\end{matrix}\right.\)
- Đặt S = x + y, P = xy ta được : \(\left\{{}\begin{matrix}SP=2\\S\left(S^2-3P\right)+S=4\end{matrix}\right.\)
Từ PT ( II ) ta được : \(S^3-3SP+S=4\)
\(\Leftrightarrow S^3+S=10\)
\(\Leftrightarrow S^3-2S^2+2S^2-4S+5S-10=0\)
\(\Leftrightarrow\left(S-2\right)\left(S^2+2S+5\right)=0\)
- Thấy \(S^2+2S+5\ge4>0\)
\(\Rightarrow S=2\)
\(\Rightarrow P=1\)
- Ta thấy nghiệm của bất phương trình là 2 nghiệm của phương trình :
\(x^2-2x+1=\left(x-1\right)^2=0\)
\(\Rightarrow x=1\)
Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là \(S=\left\{\left(1;1\right)\right\}\)
III.
Áp dụng BĐT BSC:
\(S=\dfrac{a^2}{\sqrt{3a^2+8b^2+14ab}}+\dfrac{b^2}{\sqrt{3b^2+8c^2+14bc}}+\dfrac{c^2}{\sqrt{3c^2+8a^2+14ca}}\)
\(=\dfrac{a^2}{\sqrt{\left(2a+3b\right)^2-\left(a-b\right)^2}}+\dfrac{b^2}{\sqrt{\left(2b+3c\right)^2-\left(b-c\right)^2}}+\dfrac{c^2}{\sqrt{\left(2c+3a\right)^2-\left(c-a\right)^2}}\)
\(\ge\dfrac{a^2}{\sqrt{\left(2a+3b\right)^2}}+\dfrac{b^2}{\sqrt{\left(2b+3c\right)^2}}+\dfrac{c^2}{\sqrt{\left(2c+3a\right)^2}}\)
\(=\dfrac{a^2}{2a+3b}+\dfrac{b^2}{2b+3c}+\dfrac{c^2}{2c+3a}\)
\(\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{5\left(a+b+c\right)}=\dfrac{a+b+c}{5}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c>0\)
Bài 4.
Bằng kỹ thuật UCT, ta đi chứng minh:
\(\dfrac{a^2}{\sqrt{3a^2+8b^2+14ab}}\ge\dfrac{1}{25}\left(8a-3b\right)\)
$\bullet$ Nếu \(8a-3b< 0\Rightarrowđpcm\)
$\bullet$ Trong trường hợp ngược lại ta thu được $a\ge \dfrac{3}{8}b.$
Bình phương hai vế, quy đồng, rút gọn, ta cần chứng minh:
\(\left( 433\,{a}^{2}+114\,ab-72\,{b}^{2} \right) \left( a-b \right) ^ {2}\ge 0\) (đúng $a\ge \dfrac{3}{8}b.$)
Thiết lập hai bất đẳng thức còn lại tương tự và cộng theo vế ta nhận được đpcm./.
Bài II
1 \(\Rightarrow\left(a+b\right)^2-2ab=c^2\) \(\Rightarrow2ab=\left(a+b\right)^2-c^2=\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\)
\(\Rightarrow2ab⋮\left(a+b+c\right)\)(1) Mà a,b,c \(\in Z\) nên \(a\ge1,b\ge1,c\ge1\) \(\Rightarrow a+b+c\ge1+1+1=3\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow ab⋮\left(a+b+c\right)\) Vậy...
