Question

Gọi x₁ x₂ là nghiệm của phương trình x²-3x-7=0. không giải phương trình hãy lập một phương trình bậc hai có hai nghiệm \(\frac{1}{x_1-1}\)và\(\frac{1}{x_2-1}\)

Answer 1

Lời giải:

Đặt \(\frac{1}{x_1-1}=t_1; \frac{1}{x_2-1}=t_2\)

Theo định lý Vi-et ta có: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=3\\ x_1x_2=-7\end{matrix}\right.\)

Khi đó:

\(t_1+t_2=\frac{1}{x_1-1}+\frac{1}{x_2-1}=\frac{x_1+x_2-2}{(x_1-1)(x_2-1)}=\frac{x_1+x_2-2}{x_1x_2-(x_1+x_2)+1}=\frac{3-2}{-7-3+1}=-\frac{1}{9}\)

\(t_1t_2=\frac{1}{x_1-1}.\frac{1}{x_2-1}=\frac{1}{x_1x_2-(x_1+x_2)+1}=\frac{1}{-7-3+1}=\frac{-1}{9}\)

Do đó, theo định lý Vi-et đảo thì $t_1,t_2$ là nghiệm của PT:

\(T^2+\frac{1}{9}T-\frac{1}{9}=0\)

\(\Leftrightarrow 9T^2+T-1=0\) (đây chính là pt bậc 2 cần tìm)