Question

Gọi \(S=(-\infty;\dfrac{a}{b}]\), với \(\dfrac{a}{b}\) là phân số tối giản, a là số nguyên, b là số tự nhiên lớn hơn 0, là tập hợp các giá trị m sao cho phương trình \(\sqrt{2x^2+mx+3}=x+2\) có hai nghiệm phân biệt. Tính \(B=a^2-b^3\)
A.9
B.3
C.113
D.16

Answer 1

Phương trình đã cho tương đương:

\(\left\{{}\begin{matrix}x+2\ge0\\2x^2+mx+3=\left(x+2\right)^2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge-2\\x^2+\left(m-4\right)x-1=0\end{matrix}\right.\)

Do \(a.c=1.\left(-1\right)=-1< 0\Rightarrow\) pt đã cho luôn có hai nghiệm \(x_1;x_2\). Ta tìm điều kiện m để \(-2\le x_1< x_2\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}1.f\left(-2\right)\ge0\\\dfrac{S}{2}=\dfrac{4-m}{2}>-2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4-2\left(m-4\right)-1\ge0\\\dfrac{8-m}{2}>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m\le\dfrac{11}{2}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=11\\b=2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a^2-b^3=121-8=113\)