\(\left\{{}\begin{matrix}mx+y=3\\4x+my=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=3-mx\\4x+m\left(3-mx\right)=-1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=3-mx\\4x+3m-m^2x+1=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=3-mx\\\left(4-m^2\right)x+3m+1=0\left(.\right)\end{matrix}\right.\)
+ Hệ pt đã cho có nghiệm duy nhất khi pt (.) có nghiệm duy nhất
\(\Rightarrow4-m^2\ne0\Leftrightarrow m^2\ne4\Leftrightarrow m\ne\pm2\)
Với \(m\ne\pm2\)
\(\left\{{}\begin{matrix}y=3-mx\\\left(4-m^2\right)x=-3m-1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=3-mx\\x=\dfrac{-3m-1}{4-m^2}=\dfrac{3m+1}{m^2-4}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=3-\dfrac{m\left(3m+1\right)}{m^2-4}=\dfrac{-m-12}{m^2-4}\\x=\dfrac{3m+1}{m^2-4}\end{matrix}\right.\)
Vậy hệ pt đã cho có nghiệm duy nhất ( x;y)=\(\left(\dfrac{3m+1}{m^2-4};\dfrac{-m-12}{m^2-4}\right)\)khi m\(\ne\pm2\)
+ Hệ pt có vô số nghiem khi pt (.) có vô số nghiệm
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4-m^2=0\\3m+1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=-2\end{matrix}\right.\\m=\dfrac{-1}{3}\end{matrix}\right.\)( vô lí)
Vậy hpt đã cho không thể có vô số nghiệm
+ Hệ pt vô nghiệm khi pt (.) vô nghiệm
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4-m^2=0\\3m+1\ne0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}m=-2\\m=2\end{matrix}\right.\\m\ne\dfrac{-1}{3}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-2\\m=2\end{matrix}\right.\)
Vậy hpt vô nghiệm khi m=2 hoặc m=-2
