Lời giải:
Lấy PT(1) trừ đi PT(2) theo vế ta thu được:
\(x^3-y^3=(7x+3y)-(7y+3x)\)
\(\Leftrightarrow x^3-y^3=4(x-y)\)
\(\Leftrightarrow (x-y)(x^2+xy+y^2)-4(x-y)=0\)
\(\Leftrightarrow (x-y)(x^2+xy+y^2-4)=0\)
\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} x=y\\ x^2+xy+y^2=4\end{matrix}\right.\)
TH1:$x=y$ . Thay vào PT(1) ta có: \(x^3=7x+3y=10x\)
\(\Leftrightarrow x(x^2-10)=0\Rightarrow \left[\begin{matrix} x=0\rightarrow y=0\\ x=\pm \sqrt{10}\rightarrow y=\pm \sqrt{10}\end{matrix}\right.\)
TH2: \(x^2+xy+y^2=4\)
Lấy PT(1)+PT(2) ta có \(x^3+y^3=10(x+y)\)
\(\Leftrightarrow (x+y)(x^2-xy+y^2-10)=0\) \(\Rightarrow \left[\begin{matrix} x=-y\\ x^2-xy+y^2=10\end{matrix}\right.\)
Nếu \(\left\{\begin{matrix} x^2+xy+y^2=4\\ x=-y\end{matrix}\right.\Rightarrow (-y)^2+(-y).y+y^2=4\)
\(\Leftrightarrow y^2=4\Rightarrow y=\pm 2\Rightarrow x=\mp 2\)
Nếu \(\left\{\begin{matrix} x^2+xy+y^2=4\\ x^2-xy+y^2=10\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x^2+y^2=7\\ xy=-3\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} (x+y)^2-2xy=7\\ xy=-3\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} (x+y)^2=1\\ xy=-3\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x+y=\pm 1\\ xy=-3\end{matrix}\right.\)
+) $x+y=1; xy=-3$: Theo định lý Vi-et đảo thì $x,y$ là nghiệm của PT:
\(X^2-X-3=0\Rightarrow (x,y)=(\frac{1+\sqrt{13}}{2}; \frac{1-\sqrt{13}}{2})\) và hoán vị.
+) $x+y=-1; xy=-3$: Theo định lý Vi-et đảo thì $x,y$ là nghiệm của PT:
\(X^2+X-3=0\Rightarrow (x,y)=(\frac{-1+\sqrt{13}}{2}; \frac{-1-\sqrt{13}}{2})\) và hoán vị.
Vậy...............
