Question

Giải hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x+2}+\sqrt{y+2}=4\\\sqrt{x+7}+\sqrt{y+7}=6\end{matrix}\right.\)

Answer 1

Lời giải:

Đặt \(\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+2}=a\\ \sqrt{y+2}=b\end{matrix}\right.\). HPT tương đương:

\(\left\{\begin{matrix} a+b=4(1)\\ \sqrt{a^2+5}+\sqrt{b^2+5}=6\end{matrix}\right.\)

Áp dụng BĐT Mincopxky:

\(\sqrt{a^2+5}+\sqrt{b^2+5}=\sqrt{a^2+(\sqrt{5})^2}+\sqrt{b^2+(\sqrt{5})^2}\geq \sqrt{(a+b)^2+(\sqrt{5}+\sqrt{5})^2}\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{a^2+5}+\sqrt{b^2+5}\geq \sqrt{4^2+20}=6\)

Dấu bằng xảy ra khi \(\frac{a}{\sqrt{5}}=\frac{b}{\sqrt{5}}\Leftrightarrow a=b\)

Kết hợp với \((1)\Rightarrow a=b=2\Leftrightarrow \sqrt{x+2}=\sqrt{y+2}=2\Leftrightarrow x=y=2\)

Vậy \(x=y=2\)