giải các phương trình sau ( mik đang cần gấp xin cảm ơn)
1)\(\sqrt{2x-7}\)-\(\sqrt{x-4}\)=1
2) \(\sqrt{2x-3}\)+\(\sqrt{5-2x}\)=\(3x^2\)-12x+14
3) \(x^2\)-x+6=4\(\sqrt{3x-2}\)
4)\(\frac{\sqrt{x^2}+2x-3}{\sqrt{x-1}}\)=x+3
5) \(\sqrt{x-4\sqrt{x-1}+3}\)+\(\sqrt{x-6\sqrt{x-1}+8}\)=1
6)\(\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}\)-\(\sqrt{x-1}\)=1
Câu 1:
ĐK: $x\geq 4$
PT $\Leftrightarrow \sqrt{2x-7}=\sqrt{x-4}+1$
$\Rightarrow 2x-7=x-4+1+2\sqrt{x-4}$ (bình phương 2 vế)
$\Leftrightarrow x-4=2\sqrt{x-4}$
$\Leftrightarrow \sqrt{x-4}(\sqrt{x-4}-2)=0$
\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} \sqrt{x-4}=0\\ \sqrt{x-4}=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x=4\\ x=8\end{matrix}\right.\) (đều thỏa mãn)
Vậy........
Câu 2:
ĐK: $\frac{3}{2}\leq x\leq \frac{5}{2}$
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(3x^2-12x+14=\sqrt{2x-3}+\sqrt{5-2x}\leq \frac{(2x-3)+1}{2}+\frac{(5-2x)+1}{2}\)
\(\Leftrightarrow 3x^2-12x+14\leq 2\Leftrightarrow 3x^2-12x+12\leq 0\)
\(\Leftrightarrow x^2-4x+4\leq 0\Leftrightarrow (x-2)^2\leq 0(*)\)
Mà $(x-2)^2\geq 0, \forall x$ nên $(x-2)^2=0$
$\Rightarrow x=2$
Thử lại thấy thỏa mãn nên $x=2$ là nghiệm của PT.
Câu 3:
ĐK: $x\geq \frac{2}{3}$
PT $\Leftrightarrow x^2-x+6-4\sqrt{3x-2}=0$
$\Leftrightarrow x^2-4x+(3x-2)-4\sqrt{3x-2}+4+4=0$
$\Leftrightarrow (x^2-4x+4)+(\sqrt{3x-2}-2)^2=0$
$\Leftrightarrow (x-2)^2+(\sqrt{3x-2}-2)^2=0$
Ta thấy:
$(x-2)^2\geq 0$ với mọi $x\geq \frac{2}{3}$
$(\sqrt{3x-2}-2)^2\geq 0$ với mọi $x\geq \frac{2}{3}$
Do đó để tổng của chúng bằng $0$ thì $(x-2)^2=(\sqrt{3x-2}-2)^2=0$
$\Leftrightarrow x=2$ (thỏa mãn)
Vậy...........
Câu 4:
ĐKXĐ: $x>1$
PT $\Leftrightarrow \frac{|x|+2x-3}{\sqrt{x-1}}=x+3$
$\Leftrightarrow \frac{x+2x-3}{\sqrt{x-1}}=x+3$ ($|x|=x$ do $x>1$)
$\Leftrightarrow 3\sqrt{x-1}=x+3$
$\Rightarrow 9(x-1)=x^2+6x+9$
$\Leftrightarrow x^2-3x+18=0$
$\Leftrightarrow (x-\frac{3}{2})^2=\frac{-63}{4}< 0$ (vô lý)
Do đó pt vô nghiệm.
Câu 5:
ĐK: $x\geq 1$
PT $\Leftrightarrow \sqrt{(x-1)-4\sqrt{x-1}+4}+\sqrt{(x-1)-6\sqrt{x-1}+9}=1$
$\Leftrightarrow \sqrt{(\sqrt{x-1}-2)^2}+\sqrt{(\sqrt{x-1}-3)^2}=1$
$\Leftrightarrow |\sqrt{x-1}-2|+|\sqrt{x-1}-3|=1$
Áp dụng BĐT dạng $|a|+|b|\geq |a+b|$ ta có:
$|\sqrt{x-1}-2|+|\sqrt{x-1}-3|=|\sqrt{x-1}-2|+|3-\sqrt{x-1}|\geq |\sqrt{x-1}-2+3-\sqrt{x-1}|=1$
Dấu "=" xảy ra khi $(\sqrt{x-1}-2)(3-\sqrt{x-1})\geq 0$
$\Leftrightarrow 3\geq \sqrt{x-1}\geq 2$
$\Leftrightarrow 10\geq x\geq 5$. Kết hợp ĐKXĐ ta thấy những giá trị $x$ thỏa mãn $10\geq x\geq 5$ là nghiệm của pt.
Câu 6:
ĐK: $x\geq 1$
PT $\Leftrightarrow \sqrt{(x-1)-2\sqrt{x-1}+1}-\sqrt{x-1}=1$
$\Leftrightarrow \sqrt{(\sqrt{x-1}-1)^2}=\sqrt{x-1}+1$
$\Leftrightarrow |\sqrt{x-1}-1|=\sqrt{x-1}+1$
Nếu $\sqrt{x-1}-1\geq 0$ thì PT trở thành:
$\sqrt{x-1}-1=\sqrt{x-1}+1\Leftrightarrow 2=0$ (vô lý)
Nếu $\sqrt{x-1}-1< 0$ (tương đương với $1\leq x< 2$ thì PT trở thành:
$1-\sqrt{x-1}=\sqrt{x-1}+1$
$\Leftrightarrow \sqrt{x-1}=0\Rightarrow x=1$ (thỏa mãn)
Vậy PT có nghiệm $x=1$
