a/ ĐKXĐ: \(2\le x\le10\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x-2}+\sqrt{10-x}-x^2+12x-20-20=0\)
Đặt \(\sqrt{x-2}+\sqrt{10-x}=a>0\)
\(\Rightarrow a^2=8+2\sqrt{-x^2+12x-20}\Rightarrow-x^2+12x-20=\frac{\left(a^2-8\right)^2}{4}\)
Phương trình trở thành:
\(a+\frac{\left(a^2-8\right)^2}{4}-20=0\Leftrightarrow a^4-16a^2+4a-16=0\)
\(\Leftrightarrow a^2\left(a-4\right)\left(a+4\right)+4\left(a-4\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-4\right)\left(a^3+4a^2+4\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a=4\) (do \(a^3+4a^2+4>0\) \(\) \(\forall a>0\))
\(\Leftrightarrow\sqrt{x-2}+\sqrt{10-x}=4\)
Mà \(\sqrt{x-2}+\sqrt{10-x}\le\sqrt{2\left(x-2+10-x\right)}=4\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x-2=10-x\Leftrightarrow x=6\)
b/ ĐKXĐ:...
Ta có:
\(VT=1.\sqrt{x^2+x-1}+1.\sqrt{x-x^2+1}\le\frac{1+x^2+x-1}{2}+\frac{1+x-x^2+1}{2}=x+1\)
\(\Rightarrow x^2-x+2\le x+1\)
\(\Leftrightarrow x^2-2x+1\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\le0\Rightarrow x=1\)
Vậy pt có nghiệm duy nhất \(x=1\)
c/ ĐKXĐ: \(\frac{3}{2}\le x\le\frac{5}{2}\)
Ta có:
\(VT=\sqrt{2x-3}+\sqrt{5-2x}\le\sqrt{2\left(2x-3+5-2x\right)}=2\)
\(VP=3\left(x^2-4x+4\right)+2=3\left(x-2\right)^2+2\ge2\)
\(\Rightarrow VP\ge VT\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:
\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-2\right)^2=0\\2x-3=5-2x\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow x=2\)
d/ ĐKXĐ:...
\(VT=x^2-2x+1+2=\left(x-1\right)^2+2\ge2\)
\(VP=\sqrt{2x^2-x}+\sqrt{1+3x-3x^2}\le\sqrt{2\left(2x^2-x+1+3x-3x^2\right)}\)
\(\Rightarrow VP\le\sqrt{2\left(1+2x-x^2\right)}=\sqrt{2\left[2-\left(x^2-2x+1\right)\right]}=\sqrt{2\left[2-\left(x-1\right)^2\right]}\)
Do \(2-\left(x-1\right)^2\le2\Rightarrow VP\le\sqrt{2.2}=2\)
\(\Rightarrow VP\le VT\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=1\)
Làm xong 3 câu dưới nhận ra câu a có thể đánh giá nhanh bằng BĐT được:
ĐKXĐ:...
\(VT=\sqrt{x-2}+\sqrt{10-x}\le\sqrt{2\left(x-2+10-x\right)}=4\)
\(VP=x^2-12x+36+4=\left(x-6\right)^2+4\ge4\)
\(\Rightarrow VP\ge VT\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=6\)
