Question

Giả sử có 2015 số \(Z^+\) a₁, a₂, ... , a₂₀₁₅ thỏa mãn:

\(\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+...+\dfrac{1}{a_{2015}}=1008\)

CMR: Cs ít nhất 2 trong 2015 số \(Z^+\) đã cho bằng nhau.

Answer 1

Giả sử trong 2015 số nguyên dương a₁, a₂, ... , a₂₀₁₅ thỏa mãn :

\(\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+...+\dfrac{1}{a_{2015}}=1008\)và không có số nào bằng nhau.Ta có :

\(\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+...+\dfrac{1}{a_{2015}}\le\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{2}+...+\dfrac{1}{2015}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+...+\dfrac{1}{a_{2015}}< \dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{2}+...+\dfrac{1}{2}=1+1007=1008\)

(mâu thuẫn)

⇒Điều giả sử sai ⇒ có ít nhất 2 trong 2015 số nguyên dương đã cho

bằng nhau.