Lời giải:
Không mất tính tổng quát, giả sử \(c=\min (a,b,c)\). Khi đó từ \(ab+bc+ac=3\Rightarrow ab\geq 1\)
Ta có bổ đề sau: Với \(a,b>0,ab\geq 1\) thì \(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}\geq \frac{2}{ab+1}\)
Cách chứng minh bổ đề rất đơn giản, chỉ cần quy đồng ta có ngay đpcm
-----------------------------------------
Quay trở lại bài toán. Áp dụng bổ đề trên:
\(\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{2}{ab+1}+\frac{1}{c^2+1}\)
Ta sẽ CM \(\frac{2}{ab+1}+\frac{1}{c^2+1}\geq \frac{3}{2}\Leftrightarrow \frac{2c^2+3+ab}{abc^2+ab+c^2+1}\geq\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow c^2+3\geq 3abc^2+ab\Leftrightarrow c^2+bc+ca\geq 3abc^2\)
\(\Leftrightarrow a+b+c\geq 3abc\)
BĐT trên hiển nhiên đúng vì theo AM-GM ta có:
\(a+b+c\geq \sqrt{3(ab+bc+ac)}=3\) và \(3=ab+bc+ac\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\Rightarrow 3abc\leq 3\)
Do đó ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)
