Question

\(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\ge\frac{2}{1+ab}\)

Answer 1

Với \(a=\frac{1}{2};b=1\) BĐT đã cho sai

Answer 2

\(\Leftrightarrow\frac{2+a^2+b^2}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}\ge\frac{2}{1+ab}\)

\(\Leftrightarrow\left(1+ab\right)\left(2+a^2+b^2\right)\ge2\left(1+a^2+b^2+a^2b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow2+a^2+b^2+2ab+ab\left(a^2+b^2\right)\ge2+2a^2+2b^2+2a^2b^2\)

\(\Leftrightarrow-a^2-b^2+2ab+ab\left(a^2+b^2\right)-2a^2b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow-\left(a-b\right)^2+ab\left(a-b\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(ab-1\right)\ge0\) luôn đúng \(\forall ab\ge1\)