\(A\ge\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}\)
\(A\ge\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{4}{2ab+2ac+2bc}+\frac{7}{ab+bc+ca}\)
\(A\ge\frac{\left(1+2\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}+\frac{7}{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}\)
\(A\ge\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}+\frac{21}{\left(a+b+c\right)^2}=30\)
\(A_{min}=30\) khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng:
\(\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ca+c+1}=1\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}>\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ca}}\)
Cho a,b,c∈R.CM bđt \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\) (1). Áp dụng cm các bđt sau:
a)\(\left(a+b+c\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
b)\(\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\ge\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2\)
c)\(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
d)\(a^4+b^4+c^4\ge abc\left(a+b+c\right)\)
e)\(\frac{a+b+c}{3}\ge\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{3}}vớia,b,c>0\)
f)\(a^4+b^4+c^4\ge abc\) nếu a+b+c=1
Cho a,b,c là 3 số dương sao cho : a2+b2+c2\(\le\)\(\frac{3}{4}\).Tìm GTNN của:
P=8abc+\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\)
Cho a,b,c >0 , a+b+c=1
cmr: \(A=\frac{b+c-a}{a^2+bc}+\frac{c+a-b}{b^2+ac}+\frac{a+b-c}{c^2+ab}>4\)
Cho a,b,c>0 chứng minh \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\) (1). Áp dụng chứng minh các BĐT sau:
a) \(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\ge\frac{3}{2}\left(a+b+c\right)\)
b) Cho x,y,z>0 tm x+y+z=1. Tìm GTLN của bt \(P=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\)
\(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\le\frac{a+b+c}{2}\) với a,b,c<0
Cho a,b,c,d>0. CMR nếu \(\frac{a}{b}< 1\) thì \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+c}\) (1). Áp dụng cm các bđt sau
a)\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2\)
b)\(1< \frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}< 2\)
c)\(2< \frac{a+b}{a+b+c}+\frac{b+c}{b+c+d}+\frac{c+d}{c+d+a}+\frac{d+a}{d+a+b}< 3\)
Cho các số thực a, b, c khác 0 thỏa mãn 2ab+bc+2ca=0. Tính giá trị của biểu thức:
\(A=\frac{bc}{8a^2}+\frac{ca}{b^2}+\frac{ab}{c^2}\)
