[CUỘC THI TRÍ TUỆ VICE]
Trang fanpage của cuộc thi đã có hơn 1,4k like đó, bạn đã like để nhận tin mới nhất chưa?
Facebook: Cuộc thi Trí tuệ VICE | Facebook
Muốn đề xuất câu hỏi? Các bạn hãy hỏi trực tiếp trên hoc24 nha :>
Trả lời ngay những câu hỏi dưới đây tích cực để có cơ hội nhận giải thưởng lên đến 500.000đ nhé!
-------------------------------------
[Toán.C262-265 _ 2.3.2021]
2.
\(\left(a+b\right)^2\ge4ab\ge16\Rightarrow a+b\ge4\)
\(\dfrac{a^2+b^2}{a+b}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2\left(a+b\right)}=\dfrac{a+b}{2}\)
Nên ta chỉ cần chứng minh: \(\dfrac{a+b}{2}\ge\dfrac{6}{a+b-1}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a+b-1\right)-12\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b-4\right)\left(a+b+3\right)\ge0\) (luôn đúng với mọi \(a+b\ge4\))
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=2\)
Câu cuối:
Ta chứng minh BĐT phụ sau: với mọi x;y;z dương, ta luôn có: \(\dfrac{x^3+y^3}{x^2+y^2}\ge\dfrac{x+y}{2}\)
Thật vậy, bất đẳng thức tương đương:
\(2\left(x^3+y^3\right)\ge\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3-x^2y-xy^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\) (đúng)
Áp dụng:
\(P\ge\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{b+c}{2}+\dfrac{c+a}{2}=a+b+c\ge6\)
\(P_{min}=6\) khi \(a=b=c=2\)
7:
a) Đặt \(\left(x,y\right)=\left(\dfrac{1}{a},\dfrac{1}{b}\right)\).
Ta có \(x+y=2\).
BĐT cần chứng minh trở thành:
\(\dfrac{x}{2+x^2}+\dfrac{y}{2+y^2}\le\dfrac{2}{3}\).
Ta có \(\dfrac{x}{2+x^2}+\dfrac{y}{2+y^2}=\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{2}-\left[\dfrac{x^3}{2\left(2+x^2\right)}+\dfrac{y^3}{2\left(2+y^2\right)}\right]=1-\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{x^3}{2+x^2}+\dfrac{y^3}{2+y^2}\right]\).
Mặt khác ta có \(\dfrac{x^3}{2+x^2}-\left(\dfrac{7}{9}x-\dfrac{4}{9}\right)=\dfrac{2\left(x-1\right)^2\left(x+4\right)}{9\left(x^2+2\right)}\ge0\)
\(\Rightarrow\dfrac{x^3}{2+x^2}\ge\dfrac{7}{9}x-\dfrac{4}{9}\).
Tương tự, \(\dfrac{y^3}{2+y^2}\ge\dfrac{7}{9}y-\dfrac{4}{9}\).
Do đó \(\dfrac{x^3}{2+x^2}+\dfrac{y^3}{2+y^2}\ge\dfrac{7}{9}\left(x+y\right)-\dfrac{8}{9}=\dfrac{2}{3}\).
\(\Rightarrow\dfrac{x}{2+x^2}+\dfrac{y}{2+y^2}=1-\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{x^3}{2+x^2}+\dfrac{y^3}{2+y^2}\right]\le\dfrac{2}{3}\).
BĐT dc cm. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = 1.
5:BĐT cần chứng minh tương đương: \(3abc\le ab^2+bc^2+ca^2\) (luôn đúng theo AM - GM).
Ta cần chứng minh: \(\dfrac{a}{2a+b}+\dfrac{b}{2b+c}+\dfrac{c}{2c+a}\le1\)
\(\Rightarrow a\left(2b+c\right)\left(2c+a\right)+b\left(2a+b\right)\left(2c+a\right)+c\left(2a+b\right)\left(2b+c\right)\le\left(2a+b\right)\left(2b+c\right)\left(2c+a\right)\)\(\Leftrightarrow4abc+2a^2b+2ac^2+a^2c+4abc+2a^2b+2b^2c+ab^2+4abc+2ac^2+2b^2c+bc^2\le9abc+4a^2b+4ac^2+2a^2c+4b^2c+2ab^2+2bc^2\)\(\Leftrightarrow12abc+4a^2b+ab^2+a^2c+4ac^2+4b^2c+bc^2\le9abc+4a^2b+4ac^2+2a^2c+4b^2c+2ab^2+2bc^2\)
\(\Leftrightarrow a^2c+ab^2+bc^2\ge3abc\)
Áp dụng bđt Cô-si : \(a^2c+ab^2+bc^2\ge3\sqrt[3]{a^2c\cdot ab^2\cdot bc^2}=3abc\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{2a+b}+\dfrac{b}{2b+c}+\dfrac{c}{2c+a}\le1\)
Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
