[CUỘC THI TRÍ TUỆ VICE]
Trang fanpage của cuộc thi đã có hơn 1,2k like đó, bạn đã like để nhận tin mới nhất chưa?
Muốn đề xuất câu hỏi? Các bạn hãy hỏi trực tiếp trên hoc24 nha :>
Trả lời ngay những câu hỏi dưới đây tích cực để có cơ hội nhận giải thưởng lên đến 500.000đ nhé!
-------------------------------------
[Toán.C181+C182+C183 _ 26.2.2021]
[Toán.C184 _ 26.2.2021]
P.s : Hoc24 áp dụng coin rồi nha cả nhà, cố gắng giải toán tích cực BTC cuộc thi sẽ xem xét việc tặng coin cho mỗi câu trả lời. Chính sách tặng coin có được áp dụng hay không tùy thuộc vào thái độ của các bạn đấy :3 Good luck to you!
\(P=\sum\sqrt[3]{3a+1}=\dfrac{1}{\sqrt[3]{4}}\sum\sqrt[3]{2\cdot2\cdot\left(3a+1\right)}\le\dfrac{1}{3\sqrt[3]{4}}\sum\left(3a+5\right)=3\sqrt[3]{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}.\)
Nãy em sai nha chứ không phải đề sai:vv Buồn ngủ đọc không kỹ đề:vv
Bài 1.1.8 Khá hay và dễ.
Ta chứng minh: \(\left(1+a^3\right)\left(1+b^3\right)^2\ge\left(1+ab^2\right)^3\)
Áp dụng bất đẳng thức Holder:
\(VT=\left(1+a^3\right)\left(1+b^3\right)\left(1+b^3\right)\ge\left[1+\left(a\cdot b\cdot b\right)\right]^3=\left(1+ab^2\right)^3\)
Thiết lập hai bất đẳng thức còn lại và nhân theo vế ta thu được đpcm.
Dấu đẳng thức xin dành cho bạn đọc.
Ps: BTV thì BTV, thấy bài là em giải nha:v
Bài 183:
Ta cần chứng minh : \(\dfrac{a^3+b^3}{c}+\dfrac{b^3+c^3}{a}+\dfrac{c^3+a^3}{b}\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow ab\left(a^3+b^3\right)+bc\left(b^3+c^3\right)+ca\left(c^3+a^3\right)\ge2abc\left(ab+bc+ca\right)\Leftrightarrow a^4b+ab^4+b^4c+bc^4+c^4a+ca^4\ge2a^2b^2c+2ab^2c^2+2a^2bc^2\) Áp dụng bđt Cô-si vào các số dương a,b,c có:
\(a^4b+bc^4\ge2a^2bc^2,ab^4+ac^4\ge2ab^2c^2,b^4c+ca^4\ge2a^2b^2c\)
\(\Rightarrow a^4b+ab^4+b^4c+bc^4+ca^4+c^4a\ge2a^2b^2c+2ab^2c^2+2a^2bc^2\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^3+b^3}{c}+\dfrac{b^3+c^3}{a}+\dfrac{c^3+a^3}{b}\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
C_183:
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
\(\frac{a^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a} \geq 2\sqrt{\frac{a^{3}}{c}.\frac{c^{3}}{a}}=2ac\\ \frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{b} \geq 2\sqrt{\frac{b^{3}}{c}.\frac{c^{3}}{b}}=2bc\\ \\\frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{a} \geq 2\sqrt{\frac{a^{3}}{b}.\frac{b^{3}}{a}}=2ab\\ \\ \Rightarrow \frac{a^{3}+b^{3}}{c}+\frac{b^{3}+c^{3}}{a}+\frac{c^{3}+a^{3}}{b}\geq 2 (ab+bc+ca)\)
Dấu "=" xảy ra \(\begin{cases} a,b,c >0\\ \frac{a^{3}}{c} = \frac{c^{3}}{a}\\ \frac{b^{3}}{c} = \frac{c^{3}}{b}\\ \frac{a^{3}}{b} = \frac{b^{3}}{a}\\ \end{cases} \Leftrightarrow a=b=c>0\)
Xem chi tiết
