Question

Cmr với mọi số nguyên a, b đều thoả mãn a²/2 + b² + 2 >= b(a+2)

Answer 1

\(\dfrac{a^2}{2}+b^2+2\ge b\left(a+2\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2+2b^2+4}{2}\ge\dfrac{2ab+4b}{2}\)

\(\Leftrightarrow a^2+2b^2+4\ge2ab+4b\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-4b+4\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-2\right)^2\ge0\)(luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra khi a - b = 0 và b - 2 = 0 hay a = b = 2

Vậy \(\dfrac{a^2}{2}+b^2+2\ge b\left(a+2\right)\forall a,b\in Z.\)