Question

với a+b=1 CMR a²+b² >=1/2

Answer 1

Với mọi a và b ta luôn có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge a^2+2ab+b^2\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)

mà \(a+b=1\)

do đó \(2\left(a^2+b^2\right)\ge1\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\)

Answer 2

Cách khác:

\(a+b=1\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2=1\)

Áp dụng Cauchy-Schwarz: \(\left(a+b\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(a^2+b^2\right)=2\left(a^2+b^2\right)\)

\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge1\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\)

Answer 3