Question

1,(a+b)(a^3+b^3)≤2(a^4+b^4) với mọi a,b

2,2(a^3+b^3)≥(a+b)(a^2+b^2) với a,b>0

3,a^2+b^2+c^2+3/4 ≥ a,b,c với mọi a,b,c

Ai giúp với ạ mình cảm ơn nhiều

Answer 1

a/

\(\Leftrightarrow2a^4+2b^4\ge a^4+b^4+ab^3+a^3b\)

\(\Leftrightarrow a^4-a^3b+b^4-ab^3\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\) (luôn đúng)

\(\Rightarrow\) BĐT đã cho đúng

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b\)

b/ \(2\left(a^3+b^3\right)\ge a^3+b^3+a^2b+ab^2\)

\(\Leftrightarrow a^3-a^2b+b^3-ab^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2\left(a-b\right)-b^2\left(a-b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\) (luôn đúng với mọi a;b dương)

\(\Rightarrow\) BĐT đã cho đúng

c/ Chắc là \(a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}\ge a+b+c\)

\(\Leftrightarrow a^2-a+\frac{1}{4}+b^2-b+\frac{1}{4}+c^2-c+\frac{1}{4}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\left(b-\frac{1}{2}\right)^2+\left(c-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)