Violympic toán 8

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Bi Bi

CMR trong 1 tứ giác , tổng 2 đường chéo lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giác ấy

Nguyễn Việt Lâm
22 tháng 2 2019 lúc 13:17

A B C D O

Áp dụng BĐT tam giác cho các tam giác OAB, OBC, OCD, ODA ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}OA+OB>AB\\OB+OC>BC\\OC+OD>CD\\AO+OD>AD\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow OA+OB+OB+OC+OC+OD+OA+OD>AB+BC+CD+AD\)

\(\Rightarrow2\left(AC+BD\right)>\left(AB+BC+CD+DA\right)\)

\(\Rightarrow AC+BD>\dfrac{AB+BC+CD+DA}{2}\)

Tương tự, áp dụng BĐT tam giác cho các tam giác ABC,BCD, CDA, DAB ta có: \(AB+BC>AC;BC+CD>BD;CD+DA>AC;DA+AB>BD\)

Cộng vế với vế:

\(2\left(AB+BC+CD+DA\right)>2\left(AC+BD\right)\)

\(\Leftrightarrow AC+BD< AB+BC+CD+DA\)


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Bùi Đại Hiệp
Xem chi tiết
hgf
Xem chi tiết
Nguyễn Hà Giang
Xem chi tiết
Đỗ Minh Hằng
Xem chi tiết
Kyun Diệp
Xem chi tiết
Khải Đỗ
Xem chi tiết
nguyen ha giang
Xem chi tiết
Kyun Diệp
Xem chi tiết
Nguyễn Đào Quỳnh Anh
Xem chi tiết