\(VT=\frac{1}{xy}+\frac{1}{x^2+y^2}=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}\)
Áp dụng BĐT Cauchy schawazr ta có :
\(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{\left(x+y\right)^2}+\frac{1}{\frac{2\left(x+y\right)^2}{4}}=4+2=6\)
Vậy đẳng thức đã được chứng minh .
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
1/CMR
a/\(x^4-2x^3+2x^2-2x+1\ge0\forall x\in R\)
b/cho \(a\ge0,b\ge2,a+b+c=3\). CMR : \(a^2+b^2+c^2\le5\)
c/cho a,b,c >0 . CMR : \(\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c}\ge4\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\right)\)
2/ cho \(x,y\ge0,x+y=1\). tìm GTLN,GTNN của A =\(x^2+y^2\)
3/ cho x,y>0 .tìm GTNN của B= \(\frac{\left(x+y\right)^2}{x^2+y^2}+\frac{\left(x+y\right)^2}{xy}\)
1, Cho x > 0, y > 0, x + y \(\le\)1
Tìm MinA = \(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{xy}+4xy\)
2, Tìm Min và max của P = \(\frac{x^2+1}{x^2-x+1}\)
3, Cho (x + y)2 + 7(x + y) +y2 + 10 = 0
Tìm min, Max của P = x + y + 1
4, Cho x > 0, y > 0 và x + y \(\le\)1
CMR : \(\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}\ge4\)
CMR:
\(\left(x+y+z+t\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}\right)\ge16\) \(\forall x,y,z,t>0\)
1. Cho a,b,c > 0. Cmr: a) \(\frac{bc}{a^2+2bc}+\frac{ca}{b^2+2ca}+\frac{ab}{c^2+2ab}\le1\)
b) \(\frac{ab^2}{a^2+2b^2+c^2}+\frac{bc^2}{b^2+2c^2+a^2}+\frac{ca^2}{c^2+2a^2+b^2}\le\frac{a+b+c}{4}\)
2. Cho \(x,y,z>0;x+\frac{y}{3}+\frac{z}{5}\ge3;\frac{y}{3}+\frac{z}{5}\ge2;\frac{z}{5}\ge1.MaxP=x^2+y^2+z^2\)
3. Cho \(x>0;y\ge2;2x+y+xy\ge6.MinP=x^3+y^2\)
4. Cho \(0< \alpha< \beta< \gamma\). Giả sử x,y,z > 0 TM \(z\ge\gamma;\frac{x}{\alpha}+\frac{y}{\beta}+\frac{z}{\gamma}+\frac{xyz}{\alpha\beta\gamma}=4;\frac{y}{\beta}+\frac{z}{\gamma}+\frac{yz}{\beta\gamma}=3.MinP=x^3+y^3+z^3\)
Cho \(0< x,y,z\le1\). CMR: \(\frac{x}{1+y+xz}+\frac{y}{1+z+xy}+\frac{z}{1+x+yz}< \frac{3}{x+y+z}\)
Bài 2: Cho a<b<c<d. CMR : (a+b)(c+d) < (a+c)(b+d)
Bài 3: CMR: ( ab+cd)2 =< ( a2+c2)(b2+d2)
Bài 4: Cho 0 =<x,y=<1. CMR : \(\frac{1}{x^{2^{ }}+1}\) + \(\frac{1}{y^{2^{ }}+1}\) =< \(\frac{2}{xy+1}\)
Bài 5: Cho x,y >0 và x+y=2. Tìm GTNN
a) A=1/xy b) B=1/x +1/y c) C=x2 + y2 d) D=x4 + y2
Cho 0≤x, y, z≤1. CMR: \(\frac{x}{1+yz}+\frac{y}{1+zx}+\frac{z}{1+xy}\le2\)
1.Cho các số a, b, c \(\in\left[0;1\right]\). Cmr: \(a+b^2+c^3-ab-bc-ca\le1\)
2. Cho x>0, y>0 và \(x+y\ge6\). Tìm min của \(P=3x+2y+\frac{6}{x}+\frac{8}{y}\)
Cho x,y,z>0 thỏa mãn xy+yz+zx=1. Chứng minh \(\frac{x}{x^2-yz+3}+\frac{y}{y^2-zx+3}+\frac{z}{z^2-xy+3}\ge\frac{1}{x+y+z}\)
