Chương 4: BẤT ĐẲNG THỨC, BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Các câu hỏi tương tự
CMR : a,b,c >0
1,\(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{c^2}{a+b}\dfrac{>}{ }\dfrac{a+b+c}{2}\)
2,\(\dfrac{a+b}{a^2+b^2}+\dfrac{b+c}{b^2+c^2}+\dfrac{a+c}{a^2+c^2}\dfrac{< }{ }\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)
Source of Question: Câu hỏi của Hiếu Cao Huy - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
Xét pt (1): Deltab^2-4ac
x_1dfrac{-b+sqrt{Delta}}{2a}; x_2dfrac{-b-sqrt{Delta}}{2a}
Xét pt (2) : Deltab^2-4ac
y_1dfrac{-b+sqrt{Delta}}{2c} ; y_2dfrac{-b-sqrt{Delta}}{2c}
Thay vào M:
Mdfrac{left(-b+sqrt{Delta}right)^2}{4a^2}+dfrac{left(-b-sqrt{Delta}right)^2}{4a^2}+dfrac{left(-b+sqrt{Delta}right)^2}{4c^2}+dfrac{left(-b-sqrt{Delta}right)^2}{4c^2}
dfrac{b^2-2bsqrt{Delta}+Delta}{4a^2}+dfrac{b^2+2bsqrt{Delta}+Delta}{4...
Đọc tiếp
Source of Question: Câu hỏi của Hiếu Cao Huy - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
Xét pt (1): \(\Delta=b^2-4ac\)
\(x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\); \(x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\)
Xét pt (2) : \(\Delta=b^2-4ac\)
\(y_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2c}\) ; \(y_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2c}\)
Thay vào M:
\(M=\dfrac{\left(-b+\sqrt{\Delta}\right)^2}{4a^2}+\dfrac{\left(-b-\sqrt{\Delta}\right)^2}{4a^2}+\dfrac{\left(-b+\sqrt{\Delta}\right)^2}{4c^2}+\dfrac{\left(-b-\sqrt{\Delta}\right)^2}{4c^2}\)
\(=\dfrac{b^2-2b\sqrt{\Delta}+\Delta}{4a^2}+\dfrac{b^2+2b\sqrt{\Delta}+\Delta}{4a^2}+\dfrac{b^2-2b\sqrt{\Delta}+\Delta}{4c^2}+\dfrac{b^2+2b\sqrt{\Delta}+\Delta}{4c^2}\)
\(=\dfrac{2b^2+2\Delta}{4a^2}+\dfrac{2b^2+2\Delta}{4c^2}=\dfrac{b^2+\Delta}{2a^2}+\dfrac{b^2+\Delta}{2c^2}=\dfrac{b^2c^2+\Delta c^2}{2a^2c^2}+\dfrac{a^2b^2+\Delta a^2}{2a^2c^2}\)
\(=\dfrac{b^2\left(a^2+c^2\right)+\Delta\left(a^2+c^2\right)}{2a^2c^2}=\dfrac{\left(b^2+\Delta\right)\left(a^2+c^2\right)}{2a^2c^2}=\dfrac{\left(b^2+b^2-4ac\right)\left(a^2+c^2\right)}{2a^2c^2}\)
\(=\dfrac{\left(2b^2-4ac\right)\left(a^2+c^2\right)}{2a^2c^2}=\dfrac{\left(b^2-2ac\right)\left(a^2+c^2\right)}{a^2c^2}=\dfrac{a^2b^2-2a^3c+b^2c^2-2ac^3}{a^2c^2}\)
\(=\dfrac{a^2b^2}{a^2c^2}+\dfrac{b^2c^2}{a^2c^2}-\dfrac{2a^3c}{a^2c^2}-\dfrac{2ac^3}{a^2c^2}=\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{b^2}{a^2}-\dfrac{2a}{c}-\dfrac{2c}{a}\)
\(=\left(\dfrac{b^2}{c^2}-\dfrac{2ac}{c^2}\right)+\left(\dfrac{b^2}{a^2}-\dfrac{2ac}{a^2}\right)=\dfrac{b^2-2ac}{c^2}+\dfrac{b^2-2ac}{a^2}\)
\(=\left(b^2-2ac\right)\left(\dfrac{1}{c^2}+\dfrac{1}{a^2}\right)\)
Thanks a lots for your answering ^^!
Hiếu Cao Huy: Wait together!
Bất đẳng thức Bunhiacopxki
B1: Cho a,b,c thỏa mãn: a+b+c=1. CMR: \(a^2+b^2+c^2\ge\dfrac{1}{3}\)
B2: Cho a,b,c dương thỏa mãn: \(a^2+4b^2+9c^2=2015\). CMR: \(a+b+c\le\dfrac{\sqrt{14}}{6}\)
B3: Cho a,b dương thỏa mãn: \(a^2+b^2=1\).CMR: \(a\sqrt{1+a}+b\sqrt{1+b}\le\sqrt{2+\sqrt{2}}\)
Cho a,b,c là số dương. CMR
\(\dfrac{a}{b^2}+\dfrac{b}{c^2}+\dfrac{c}{a^2}\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)
Cho a,b,c>0 thỏa mãn\(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}=1\). CMR
\(\dfrac{a^2}{a+b}+\dfrac{b^2}{b+c}+\dfrac{c^2}{a+b}\ge\dfrac{1}{2}\)
Cho a,b,c là 3 số thức dương thỏa mãn a + b + c 1/a + 1/b + 1/c . CMR
2( a + b + c) ge sqrt{a^2+3}+sqrt{b^2+3}+sqrt{c^2+3}
Giải:
Dễ thấy bđt cần cm tương đương với mỗi bđt trong dãy sau:
left(2a-sqrt{a^2+3}right)+left(2b-sqrt{b^2+3}right)+left(2c-sqrt{c^2+3}right)ge0,
dfrac{a^2-1}{2a+sqrt{a^2+3}}+dfrac{b^2-1}{2b+sqrt{b^2+3}}+dfrac{c^2-1}{2c+sqrt{c^2+3}}ge0,
dfrac{dfrac{a^2-1}{a}}{2+sqrt{1+dfrac{3}{a^2}}}+dfrac{dfrac{b^2-1}{b}}{2+sqrt{1+dfrac{3}{b^2}}}+dfrac{dfrac{c^2-1}{c}}{2+sqrt{1+dfra...
Đọc tiếp
Cho a,b,c là 3 số thức dương thỏa mãn a + b + c = 1/a + 1/b + 1/c . CMR
2( a + b + c) \(\ge\) \(\sqrt{a^2+3}+\sqrt{b^2+3}+\sqrt{c^2+3}\)
Giải:
Dễ thấy bđt cần cm tương đương với mỗi bđt trong dãy sau:
\(\left(2a-\sqrt{a^2+3}\right)+\left(2b-\sqrt{b^2+3}\right)+\left(2c-\sqrt{c^2+3}\right)\ge0\),
\(\dfrac{a^2-1}{2a+\sqrt{a^2+3}}+\dfrac{b^2-1}{2b+\sqrt{b^2+3}}+\dfrac{c^2-1}{2c+\sqrt{c^2+3}}\ge0\),
\(\dfrac{\dfrac{a^2-1}{a}}{2+\sqrt{1+\dfrac{3}{a^2}}}+\dfrac{\dfrac{b^2-1}{b}}{2+\sqrt{1+\dfrac{3}{b^2}}}+\dfrac{\dfrac{c^2-1}{c}}{2+\sqrt{1+\dfrac{3}{b^2}}}\ge0\)
Các bđt trên đầu mang tính đối xứng giữa các biến nên k mất tính tổng quát ta có thể giả sử \(a\ge b\ge c\)
=> \(\dfrac{a^2-1}{a}\ge\dfrac{b^2-1}{b}\ge\dfrac{c^2-1}{c}\)
và \(\dfrac{1}{2+\sqrt{1+\dfrac{3}{a^2}}}\ge\dfrac{1}{2+\sqrt{1+\dfrac{3}{b^2}}}\ge\dfrac{1}{2+\sqrt{1+\dfrac{3}{c^2}}}\)
Áp dụng bđt Chebyshev có:
\(\dfrac{\dfrac{a^2-1}{a}}{2+\sqrt{1+\dfrac{3}{a^2}}}+\dfrac{\dfrac{b^2-1}{b}}{2+\sqrt{1+\dfrac{3}{b^2}}}+\dfrac{\dfrac{c^2-1}{c}}{2+\sqrt{1+\dfrac{3}{c^2}}}\ge\dfrac{1}{3}\left(\sum\dfrac{a^2-1}{a}\right)\left(\sum\dfrac{1}{2+\sqrt{1+\dfrac{3}{a^2}}}\right)\)
Theo gia thiết lại có: \(\sum\dfrac{a^2-1}{a}=\left(a+b+c\right)-\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=0\)
nên ta có thể suy ra \(\dfrac{\dfrac{a^2-1}{a}}{2+\sqrt{1+\dfrac{3}{a^2}}}+\dfrac{\dfrac{b^2-1}{b}}{2+\sqrt{1+\dfrac{3}{b^2}}}+\dfrac{\dfrac{c^2-1}{c}}{2+\sqrt{1+\dfrac{3}{c^2}}}\ge0\)
Vì vậy bđt đã cho ban đầu cũng đúng.
cho a,b,c>0 và \(a^2+b^2+c^2=1\) cmr
\(\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{b^2+c^2}+\dfrac{1}{c^2+a^2}\le\dfrac{a^3+b^3+c^3}{2abc}+3\)
Cho a,b,c là các số thực k âm thỏa mãn a+b+c=3.CMR
a/ \(\dfrac{a}{1+b^2}+\dfrac{b}{1+c^2}+\dfrac{c}{1+a^2}\ge\dfrac{3}{2}\)
b/ \(\dfrac{a^2}{a+2b^3}+\dfrac{b^2}{b+2c^3}+\dfrac{c^2}{c+2a^3}\ge1\)
Cho a,b,c là số dương. CMR:
1. \(\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\ge\left(1+\sqrt[3]{abc}\right)^3\)
2. \(a^2\sqrt{bc}+b^2\sqrt{ac}+c^2\sqrt{ab}\le a^3+b^3+c^3\)
3. \(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\ge\dfrac{a+b+c}{2}\)