Chuyên mục: BĐT Toán học #8
Ai trả lời đúng + chính xác sẽ được 10GP.
Question: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2\ge3\). Tìm GTNN của:
\(P=\dfrac{a^2}{b+2c}+\dfrac{b^2}{c+2a}+\dfrac{c^2}{a+2b}\)
_Đầu tiên mời anh @tran nguyen bao quan cmt 10 cái lấy GP lần trước.
_Lâu không gặp mọi người, post quiz khỏi mọi người quên t.
_9/1 thi rồi, đăng lấy tinh thần cái nào.
#On the way to success, there is no trace of lazy men
#GudLuck
Sử dụng AM-GM, ta dễ dàng chứng minh được bất đẳng thức phụ sau:
\(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)\ge3\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\)
\(P=\sum\dfrac{a^4}{a^2b+2a^2c}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\sum a^2b+2\sum a^2c}\)
\(\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}}{3}+\dfrac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}}{3}}\)\(\ge1\)
GTNN là 1 khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
_ Tôi không tiếp những người kém hiểu biết, không biết ân oán , quan hệ của tôi với bạn trên lại cứ đi vuốt mông ngựa, lại thích nhảy vào chuyện người khác...
_Tôi lười tranh cãi với những người đấu không lại thì dùng trò trẻ trâu, những ai giỏi lái đề tài..., không có trách nhiệm, không biết tự nhìn nhận khuyết điểm.
_Mặc dù tôi không thích nhiều chuyện, tôi cũng không phải thánh mẫu, tôi sẵn sàng phản dame những người gây sự. Tôi không sợ bị nói gì mà ‘’CTV kênh kiệu, hách dịch..’’khi sự thật rành rành, hơn cả, CTV cũng là người, tôi gắn lên mác CTV để giúp các bạn tìm tỏi, học hỏi,..., không phải để phục vụ vấn đề tâm sinh lý của mấy bạn câu fame, hám GP,..
_Quan trọng nhất, câu hỏi tôi post lên để tìm tòi, đúc rút những cái hay , cái mới thêm trong lời giải của mọi người, chuẩn bị cho kì thi của bản thân,.. nơi giao lưu của mấy bạn box Toán,... Không phải cái sân chơi cho mấy bạn giải trí, xàm ngôn,nịnh bợ, làm người hùng...Không tham gia thì mời get out of here.
_ Tôi đang rất tôn trọng các bạn, nên ăn nói cho văn hóa vào.
_Xin lỗi mọi người, những ai chân chính tham gia đừng để ý vấn đề này :>
- The End -
Đặt a2 = x; b2 = y; c2 = z
Bài toán trở thành cho x + y + z ≥ 3
Tìm min \(P=\dfrac{x}{\sqrt{y}+2\sqrt{z}}+\dfrac{y}{\sqrt{z}+2\sqrt{x}}+\dfrac{z}{\sqrt{x}+2\sqrt{y}}\)
\(P=\dfrac{x}{\sqrt{y.1}+2\sqrt{z.1}}+\dfrac{y}{\sqrt{z.1}+2\sqrt{x.1}}+\dfrac{z}{\sqrt{x.1}+2\sqrt{y.1}}\ge\dfrac{x}{\dfrac{y+2z+3}{2}}+\dfrac{y}{\dfrac{z+2x+3}{2}}+\dfrac{z}{\dfrac{x+2y+3}{2}}=2\left(\dfrac{x}{y+2z+3}+\dfrac{y}{z+2x+3}+\dfrac{z}{x+2y+3}\right)\) (Cô - si)
\(\dfrac{P}{2}\ge\dfrac{x}{y+2z+3}+\dfrac{y}{z+2x+3}+\dfrac{z}{x+2y+3}\ge\dfrac{x}{x+2y+3z}+\dfrac{y}{y+2z+3x}+\dfrac{z}{z+2x+3y}\)
\(\dfrac{P}{2}\ge\dfrac{x^2}{x^2+2xy+3zx}+\dfrac{y^2}{y^2+2yz+3xy}+\dfrac{z^2}{z^2+2zx+3yz}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+3\left(xy+yz+zx\right)}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)^2}=\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow P\ge1\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 1 hay a = b = c = 1
Lâu lâu không gặp, cmt cái nhẹ cho chị đỡ quên em
Ko được vậy nhé bạn :) Tối đa 2 GP thôi 10 GP là GIAN LẬN RỒI ĐẤY NHÉ
Mình nhắc NHẸ thế thôi :))
Áp dụng bđt Svarxơ:
\(\dfrac{a^2}{b+2c}+\dfrac{b^2}{c+2a}+\dfrac{c^2}{a+2b}\)\(\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3\left(a+b+c\right)}=\dfrac{a+b+c}{3}=\dfrac{\sqrt{a^2}+\sqrt{b^2}+\sqrt{c^2}}{3}\)
Áp dụng bđt Minscopxki:
\(\dfrac{\sqrt{a^2}+\sqrt{b^2}+\sqrt{c^2}}{3}\ge\dfrac{\sqrt{a^2+b^2+c^2+3}}{3}\)\(\ge\dfrac{\sqrt{6}}{3}\)
Vậy Pmin=\(\dfrac{\sqrt{6}}{3}\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a^2}{b+2c}=\dfrac{b^2}{c+2a}=\dfrac{c^2}{a+2b}\\\dfrac{a^2}{1}=\dfrac{b^2}{1}=\dfrac{c^2}{1}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow}a=b=c\)
Pmin\(=\dfrac{\sqrt{6}}{3}\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a^2}{b+2c}=\dfrac{b^2}{c+2a}=\dfrac{c^2}{a+2b}\\\dfrac{a^2}{1}=\dfrac{b^2}{1}=\dfrac{c^2}{1}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow a=b=c\)
Câu trên sai.
Sửa lại: ĐK: \(a+b+c\ne0\)
Áp dụng bđt Svarxơ, ta có:
\(\dfrac{a^2}{b+2c}+\dfrac{b^2}{c+2a}+\dfrac{c^2}{a+2b}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3\left(a+b+c\right)}\)\(=\dfrac{a+b+c}{3}\)
Áp dụng bđt Minxcốpxki, ta có:
\(\dfrac{a+b+c}{3}=\dfrac{\sqrt{a^2}+\sqrt{b^2}+\sqrt{c^2}}{3}\)\(\ge\dfrac{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}{3}\ge\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)
Vậy Pmin=\(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a^2}{b+2c}=\dfrac{b^2}{c+2a}=\dfrac{c^2}{a+2b}\\a^2=b^2=c^2=\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow a=b=c=\pm\sqrt{\dfrac{1}{3}}\)
áp dụng thức Bnhiacopxki ta có
\(\left(\dfrac{a}{\sqrt{b+2c}}\cdot\sqrt{b+2c}+\dfrac{b}{\sqrt{c+2a}}\cdot\sqrt{c+2a}+\dfrac{c}{\sqrt{a+2b}}\right)^2\le\left(\dfrac{a^2}{b+2c}+\dfrac{b^2}{c+2a}+\dfrac{c^2}{a+2b}\right)\left(b+2c+c+2a+a+2b\right)\\ =>\left(a+b+c\right)^2\le\left(\dfrac{a^2}{b+2c}+\dfrac{b^2}{c+2a}+\dfrac{c^2}{a+2b}\right)\left(3a+3b+3c\right)\\ \)
vì a,b,c>0 nên chia 2 vế cho (3a+3b+3c)thì dấu bằng ko đổi chiều
=>\(\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3\left(a+b+c\right)}\le\left(\dfrac{a^2}{b+2c}+\dfrac{b^2}{c+2a}+\dfrac{c^2}{a+2b}\right)\\ =>\dfrac{a+b+c}{3}\le\left(\dfrac{a^2}{b+2c}+\dfrac{b^2}{c+2a}+\dfrac{c^2}{a+2b}\right)\)
vậy MIN P= dấu bằng xảy ra khi \(\dfrac{a}{b+c}=\dfrac{b}{c+a}=\dfrac{c}{a+b}< =>a=c=b\)
mình chỉ phân tích tới đó được thôi .mình chưa học chuyên sâu BĐT
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
\(9=3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Rightarrow a+b+c\le3\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz tâ có:
\(P\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{b+2c+c+2a+a+2b}=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3\left(a+b+c\right)}=\dfrac{a+b+c}{3}\ge\dfrac{a+b+c}{a+b+c}=1\)
\(P_{min}=1\).Dấu "=" khi a = b = 1
Thử thử thôi, em k chắc :v
Lời giải:
Ta có: \(\sqrt{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(\frac{c^2}{a^2}+1^2+1^2\right)}\ge b+2c\)
Rồi tương tự các kiểu suy ra:
\(P\ge\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\left(\Sigma_{cyc}\frac{a^2}{\sqrt{\frac{c^2}{a^2}+1+1}}\right)=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\left(\Sigma_{cyc}\frac{a^3}{\sqrt{c^2+2a^2}}\right)\)
\(=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\left(\Sigma_{cyc}\frac{a^4}{a\sqrt{c^2+2a^2}}\right)\ge\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\left(\frac{\left(\Sigma_{cyc}a^2\right)^2}{\Sigma_{cyc}a\sqrt{c^2+2a^2}}\right)\)
\(=\frac{\sqrt{\left(a^2+b^2+c^2\right)^3}}{\Sigma_{cyc}a\sqrt{c^2+2a^2}}=\frac{\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)^3}}{\Sigma_{cyc}\sqrt{3}a\sqrt{c^2+2a^2}}\ge\frac{\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)^3}}{\Sigma_{cyc}\frac{3a^2+\left(c^2+2a^2\right)}{2}}\)
\(=\frac{2\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)^3}}{6\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\frac{\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}}{3}\ge1\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=1\)