Question

Chứng minh trong 3 số (x-y)²,(y-z)²,(z-x)² có ít nhất một số không lớn hơn \(\dfrac{x^2+y^2+z^2}{2}\)

Answer 1

Gọi \(t\) là số nhỏ nhất trong các hiệu \(a-b;b-c;c-a\)

Giả sử \(a\ge b\ge c\) thì \(t\ge0\). Ta có:

\(a-b\ge t\ge0\Rightarrow\left(a-b\right)^2\ge t^2\)

\(b-c\ge t\Rightarrow\left(b-c\right)^2\ge t^2\)

\(a-c\ge2t\ge0\Rightarrow\left(a-c\right)^2\ge4t^2\)

Cộng từng vế:

\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge6t^2\)

\(3\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(a+b+c\right)^2\ge6m^2\)

\(\Rightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge6m^2\)

\(\Rightarrow\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2}\ge m^2\left(\text{đ}pcm\right)\)