Lời giải:
Đặt \(\sqrt[3]{-q+\sqrt{q^2+p^3}}=a; \sqrt[3]{-q-\sqrt{q^2+p^3}}=b\) thì $x_0=a+b$
Khi đó:
\(a^3+b^3=-2q\)
\(ab=\sqrt[3]{(-q+\sqrt{q^2+p^3})(-q-\sqrt{q^2+p^3})}=\sqrt[3]{(-q)^2-(q^2+p^3)}=\sqrt[3]{-p^3}=-p\)
Ta có:
\((a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)\)
\(\Leftrightarrow x_0^3=-2q+3.(-p)x_0\)
\(\Leftrightarrow x_0^3+3px_0+2q=0\)
Do đó $x_0$ là nghiệm của PT \(x^3+3px+2q=0\)
Ta có đpcm.
Chứng minh rằng \(x_0=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}-\sqrt{6-3\sqrt{2+\sqrt{3}}}\) là 1 nghiệm của phương trình \(x^4-16x^2+32=0\)
chứng minh rằng x=\(\sqrt[3]{38-17\sqrt{5}}+\sqrt[3]{38+17\sqrt{5}}\) là một nghiệm của phương trình\(x^3-3x^2-2x-8=0\)
\(\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}+\sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}\)
Chứng tỏ rằng x là nghiệm của phương trình : \(x^3+3x-14=0\)
Chứng minh rằng phương trình \(x^5+x+1\) có nghiệm duy nhất là \(x=\dfrac{1}{3}\left(1-\sqrt[3]{\dfrac{25+\sqrt{621}}{2}}-\sqrt[3]{\dfrac{25-\sqrt{621}}{2}}\right)\)
1. Tính giá trị biểu thức: \(A=\sqrt{a^2+4ab^2+4b}-\sqrt{4a^2-12ab^2+9b^4}\) với \(a=\sqrt{2}\) ; \(b=1\)
2. Đặt \(M=\sqrt{57+40\sqrt{2}}\) ; \(N=\sqrt{57-40\sqrt{2}}\). Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) M-N
b) \(M^3-N^3\)
3. Chứng minh: \(\left(\frac{x\sqrt{x}+3\sqrt{3}}{x-\sqrt{3x}+3}-2\sqrt{x}\right)\left(\frac{\sqrt{x}+\sqrt{3}}{3-x}\right)=1\) (với \(x\ge0\) và \(x\ne3\))
4. Chứng minh: \(\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2+4\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}.\frac{a\sqrt{b}-b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}=a-b\) (a > 0 ; b > 0)
5. Chứng minh: \(\sqrt{9+4\sqrt{2}}=2\sqrt{2}+1\) ; \(\sqrt{13+30\sqrt{2+\sqrt{9+4\sqrt{2}}}}=5+3\sqrt{2}\) ; \(3-2\sqrt{2}=\left(1-\sqrt{2}\right)^2\)
6. Chứng minh: \(\left(\frac{1}{2\sqrt{2}-\sqrt{7}}-\left(3\sqrt{2}+\sqrt{17}\right)\right)^2=\left(\frac{1}{2\sqrt{2}-\sqrt{17}}-\left(2\sqrt{2}-\sqrt{17}\right)\right)^2\)
7. Chứng minh đẳng thức: \(\left(\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{\sqrt{27}-3}-\frac{\sqrt{150}}{3}\right).\frac{1}{\sqrt{6}}=-\frac{4}{3}\)
8.Chứng minh: \(\frac{2002}{\sqrt{2003}}+\frac{2003}{\sqrt{2002}}>\sqrt{2002}+\sqrt{2003}\)
9. Chứng minh rằng: \(\sqrt{2000}-2\sqrt{2001}+\sqrt{2002}< 0\)
10. \(\frac{1}{2}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}< 2\) ; \(\frac{7}{5}< \frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}}}+\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{3}}}< \frac{29}{30}\)
Bài 4: Cho x = \(\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}-\sqrt[3]{14\sqrt{2}-20}\)
Lập phương trình có hệ số nguyên nhận x là một nghiệm
Bài 5: Cho x = \(\sqrt[3]{1+\sqrt{2}}-\sqrt[3]{\sqrt{2}-1}\)
Hãy tình giá trị của biểu thức y = \(x^3+3x+2015\)
Bài 7: Chứng minh số sau là số vô tỉ: \(2\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}\)
Chứng minh rằng
\(\sqrt{\frac{2+2\sqrt{3}}{2-2\sqrt{3}}}\) - \(\sqrt{\frac{2-2\sqrt{3}}{2+2\sqrt{3}}}\)= \(2\sqrt{3}\)
1/Giải phương trình:
a) \(\sqrt[4]{4-x^2}-\sqrt[4]{x^4-16}+\sqrt{4x+1}+\sqrt{x^2+y^2-2y-3}=5-y\)
b) \(x^4-2y^4-x^2y^2-4x^2-7y^2-5=0\)
2/ Cho tam giác ABC cân tại A có \(\widehat{A}=108^o\). Chứng minh \(\dfrac{BC}{AC}\) là một số vô tỉ.
3/ Giải phương trình: \(\sqrt[3]{x^2+26}+3\sqrt{x}+\sqrt{x+3}=8\)
Cho biểu thức Q=\(\dfrac{5\sqrt{x}-11}{x+2\sqrt{x}-3}+\dfrac{3\sqrt{x}-2}{1-\sqrt{x}}-\dfrac{2\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+3}\)
a.Rút gọn Q
b.Chứng minh rằng Q\(\le\dfrac{2}{3}\)
