Question

Chứng minh rằng với mọi SNT p tồn tại vô số số dạng \(2^n-n\) chia hết cho p với \(n\in N\)

Answer 1

Lời giải:

Điều phải chứng minh tương đương với việc tồn tại vô số số $n$ sao cho \(p|2^n-n\) với mọi \(p\in\mathbb{P}\)

Ta sẽ chỉ là một dạng tổng quát của $n$

------------------------------------------

Vì theo định lý Fermat nhỏ ta \(2^{p-1}\equiv 1\pmod p\)

\(\Leftrightarrow p|2^{p-1}-1\)

Do đó đặt \(n=k(p-1)\)

Khi đó \(2^n-n=2^{k(p-1)}-k(p-1)\equiv 1+ k\pmod p\)

Để \(p|2^n-n\Rightarrow 1+k\equiv 0\pmod p\Leftrightarrow k=pt-1\)

Vậy \(p|2^{(pt-1)(p-1)}-(pt-1)(p-1)\forall p\in \mathbb{P}\)

Nghĩa là tồn tại vô hạn số n có dạng \((pt-1)(p-1)\) với $t$ là số tự nhiên nào đó thỏa mãn điều kiện đề bài.

Ta có đpcm.