Question

Chứng minh rằng tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp ko thể là số chính phương

Answer 1

Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp đó là n - 2, n - 1, n, n +1, n + 2 (n ∈ N, n > 2).
Ta có: (n - 2)² + (n - 1)² + n² + (n + 1)² + (n + 2)² = 5(n² + 2)
Vì n² không thể tận cùng là 3 hoặc 8, do đó n² + 2 không thể chia hết cho 5.
Nên 5(n² + 2) không là số chính phương, cũng có nghĩa là tổng của 5 số tự nhiên liên tiếp không thể là số chính phương.

Answer 2

\(\text{Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp là: a-2;a-1;a;a+1;a+2 (a thuộc N và a lớn hơn 1)}\)

\(\text{tổng bình phương của chúng là:}\)

\(\left(a-2\right)^2+\left(a-1\right)^2+a^2+\left(a+1\right)^2+\left(a+2\right)^2=5a^2+10=5\left(a^2+2\right)\text{ là số chính phương khi a^2+2 có dạng 5k^2 (k thuộc N)}\)

\(\Leftrightarrow a^2+2⋮5\)\(\text{ ta dễ dàng chứng minh được: ko có số chính phương chia 5 dư 3(vậy tổng bình phương của 5 stn liên tiếp ko thể là scp}\)