Question

Chứng minh \(a^3+b^3+c^3=3abc\)

Answer 1

Đề của bạn bị thiếu rồi, mình bổ sung điều kiện: a + b + c = 0.

Đặt: A = a³ + b³ + c³
= (a + b)³ - 3ab(a + b) + c³
= (a + b)³ + c³ - 3ab(a + b)
= (a + b + c)³ - 3(a + b)c(a + b + c) - 3ab(a + b)
= (a + b + c)³ - 3(a + b)[c(a + b + c) + ab]
= (a + b + c)³ - 3(a + b)(ac + bc + c² + ab)
= (a + b + c)³ - 3(a + b)[c(a + c) + b(a + c)]
= (a + b + c)³ - 3(a + b)(a + c)(b + c).

Ta có:
a + b + c = 0 ⇒ (a + b + c)³ = 0;
a + b + c = 0 \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=-c\\a+c=-b\\b+c=-a\end{matrix}\right.\).

Khi đó:
A = 0 - 3(-c)(-b)(-a)
A = 3abc.

Vậy với a + b + c = 0 thì a³ + b³ + c³ = 3abc.