Question

cho a^3+b^3+c^3=3abc và a+b+c khác 0. Chứng minh a=b=c

Answer 1

\(a^3+b^3+c^3=3abc\\ \Leftrightarrow\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc=0\\ \Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2+2ab-bc-ca\right)-3ab\left(a+b+c\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\\ \Leftrightarrow\frac{a+b+c}{2}\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]=0\)

Mà \(a+b+c\ne0\Rightarrow\frac{a+b+c}{2}\ne0\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\\ \Rightarrow a=b=c\left(đpcm\right)\)