\(a^2+\dfrac{b^2}{4}\ge ab\left(1\right)\\ \Leftrightarrow a^2+\dfrac{b^2}{4}-ab\ge0\\ \Leftrightarrow a^2-2\cdot a\cdot\dfrac{1}{2}b+\left(\dfrac{1}{2}b\right)^2\ge0\\ \Leftrightarrow\left(a-\dfrac{1}{2}b\right)^2\ge0\left(2\right)\)
Bất đẳng thức (2) luôn đúng \(\forall a;b\)
nên bất đẳng thức (1) cũng luôn đúng \(\forall a;b\)
Vậy \(a^2+\dfrac{b^2}{4}\ge ab\)
đẳng thức xảy ra khi \(a=2b\)
\(bpt\Leftrightarrow\left(a-\dfrac{b}{2}\right)^2\ge0\) (đúng)
"=" khi \(a=\dfrac{b}{2}\)
Xét hiệu: \(a^2+\dfrac{b^2}{4}-ab=\dfrac{4a^2-4ab+b^2}{4}=\dfrac{\left(2a-b\right)^2}{4}\ge0\)
Vậy : \(a^2+\dfrac{b^2}{4}\ge ab\)
Dấu '' = '' xảy ra khi a = \(\dfrac{b}{2}\)
