Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Chu Quang Minh

cho x+y+z=3 tìm gtnn P=x^2/x+2y^3+y^2/y+2z^3+z^2/z+2x^3

Edogawa Conan
14 tháng 8 2021 lúc 12:57

Ta có:\(\dfrac{x^2}{x+2y^3}=\dfrac{x\left(x+2y^3\right)-2xy^3}{x+2y^3}=x-\dfrac{2xy^3}{x+2y^3}=x-\dfrac{2xy^3}{x+y^3+y^3}\)
  \(\ge x-\dfrac{2xy^3}{3\sqrt[3]{xy^6}}=x-\dfrac{2}{3}.\sqrt[3]{\dfrac{x^3y^9}{xy^6}}=x-\dfrac{2}{3}.y\sqrt[3]{x^2}\)

 \(\Rightarrow P\ge\left(x+y+z\right)-\dfrac{2}{3}.\left(y\sqrt[3]{x^2}+z\sqrt[3]{y^2}+x\sqrt[3]{z^2}\right)\)

Ta có:\(y\sqrt[3]{x^2}=y\sqrt[3]{x.x.1}\le y.\dfrac{\left(x+x+1\right)}{3}=\dfrac{2}{3}.xy+\dfrac{y}{3}\)

\(\Rightarrow P\ge\left(x+y+z\right)-\dfrac{2}{3}\left[\dfrac{2}{3}\left(xy+yz+zx\right)+\dfrac{x+y+z}{3}\right]\)

        \(\ge\left(x+y+z\right)-\dfrac{2}{3}\left[\dfrac{2}{3}.\dfrac{\left(x+y+z\right)^3}{3}+\dfrac{z+y+z}{3}\right]\)

         \(=3-\dfrac{2}{3}\left[\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{3^3}{3}+\dfrac{3}{3}\right]=3-\dfrac{2}{3}.3=1\)

Dấu "=" xảy ra ⇔ x=y=z=1


Các câu hỏi tương tự
Bùi Đức Anh
Xem chi tiết
Luyri Vũ
Xem chi tiết
Viêt Thanh Nguyễn Hoàn...
Xem chi tiết
dia fic
Xem chi tiết
tran thi mai anh
Xem chi tiết
Phạm Minh Quang
Xem chi tiết
Nue nguyen
Xem chi tiết
Tùng
Xem chi tiết
Việt Tuân Nguyễn Đặng
Xem chi tiết